关于的焦点的对称点分别为线段的中点在上，则解析椭圆中，如图，设的中点为，则分别为的中点，名师点评本题利用了数形结合的思想，把和分别看作和的中位线，再结合椭圆定义即可求解在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化北京东城区统检测如图，已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且这两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为解析如图，设为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在轴上方的交点为，连接，所以，因为，所以因为，所以，所以设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任点，点的坐标为则的最大值为证明直线与椭圆只有个交点解法由条件知，故直线的斜率为因为⊥，所以直线的方程为，故分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点如果点的坐标是求此时椭圆的方程时，直线与椭圆相离直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为，则为直线斜率如图，点，规律方法直线与椭圆位置关系判断的步骤联立直线方程与椭圆方程消元得出关于或的元二次方程当时，直线与椭圆相交当时，直线与椭圆相切当则，由，即，得若则，由，即，解得直线，代入，得，心率等于椭圆及其几何性质解析圆的标准方程为，圆心坐标为又，椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，若，则的值为或或高考江西卷设椭圆的左，右焦点为过作轴的垂线与相交于，两点，与轴相交于点，若⊥，则椭圆的离质高频考点已知椭圆的个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为椭圆的离心率为质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度根据椭圆的性质求参数的值或范围由性质写椭圆方程求离心率的值或范围考点二椭圆的几何性得，所求椭圆方程为设则椭圆的几何性解析设椭圆方程为，且椭圆经过，两点点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解过两点则椭圆的方程为已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且⊥若的面积为，则是两个坐标轴都有可能设方程根据上述判断设出方程找关系根据已知条件，建立关于的方程组得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经的周长为，由椭圆定义，得，得，代入得故的方程为规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤作判断根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还解析依题意，设椭圆方程为，则有，由此解得因此所求的椭圆方程是由，得又高考大纲全国卷已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点若的周长为，则的方程为点三直线与椭圆的位置关系考点椭圆的定义及标准方程洛阳市高三年级统考已知中心在原点的椭圆的右焦点为直线与椭圆的个交点的横坐标为，则椭圆方程为点三直线与椭圆的位置关系考点椭圆的定义及标准方程洛阳市高三年级统考已知中心在原点的椭圆的右焦点为直线与椭圆的个交点的横坐标为，则椭圆方程为高考大纲全国卷已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点若的周长为，则的方程为解析依题意，设椭圆方程为，则有，由此解得因此所求的椭圆方程是由，得又的周长为，由椭圆定义，得，得，代入得故的方程为规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤作判断根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能设方程根据上述判断设出方程找关系根据已知条件，建立关于的方程组得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点则椭圆的方程为已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且⊥若的面积为，则解析设椭圆方程为，且椭圆经过，两点点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得，所求椭圆方程为设则椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度根据椭圆的性质求参数的值或范围由性质写椭圆方程求离心率的值或范围考点二椭圆的几何性质高频考点已知椭圆的个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为椭圆的离心率为，则的值为或或高考江西卷设椭圆的左，右焦点为过作轴的垂线与相交于，两点，与轴相交于点，若⊥，则椭圆的离心率等于椭圆及其几何性质解析圆的标准方程为，圆心坐标为又，椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，若则，由，即，得若则，由，即，解得直线，代入，得，规律方法直线与椭圆位置关系判断的步骤联立直线方程与椭圆方程消元得出关于或的元二次方程当时，直线与椭圆相交当时，直线与椭圆相切当时，直线与椭圆相离直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为，则为直线斜率如图，点，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点如果点的坐标是求此时椭圆的方程证明直线与椭圆只有个交点解法由条件知，故直线的斜率为因为⊥，所以直线的方程为，故，由题设知，解得，故椭圆的方程为法二设直线与轴交于点由条件知，，因为，所以，即，解得所以解得，故椭圆的方程为证明直线的方程为，即将上式代入，得，解得，所以直线与椭圆只有个交点方法思想数形结合思想在椭圆求值中的应用高考辽宁卷已知椭圆，点与的焦点不重合若关于的焦点的对称点分别为线段的中点在上，则解析椭圆中，如图，设的中点为，则分别为的中点，名师点评本题利用了数形结合的思想，把和分别看作和的中位线，再结合椭圆定义即可求解在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化北京东城区统检测如图，已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且这两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为解析如图，设为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在轴上方的交点为，连接，所以，因为，所以因为，所以，所以设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任点，点的坐标为则的最大值为解析如图易知点在椭圆外，连接并延长交椭圆于点，此时取最大值，故的最大值为第讲椭圆第八章平面解析几何椭圆的概念在平面内与两定点的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的集合其中且，为常数若，则集合为椭圆若，则集合为线段若，则集合为空集椭圆焦点焦距椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形标准方程性质范围对称性对称轴对称中心，顶点轴轴标准方程性质轴长轴的长为短轴的长为焦距离心率，，的关系做做已知中心在原点的椭圆的右焦点为离心率等于，则的方程是解析右焦点为，说明两层含义椭圆的焦点在轴上又离心率为，故故椭圆的方程为解析由已知可得的周长为浙江省名校联考已知，是椭圆的两个焦点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，则的周长为辨明两个易误点椭圆的定义中易忽视这条件，当时，其轨迹为线段，当时，不存在轨迹求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为求椭圆标准方程的两种方法定义法根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为做做若直线经过椭圆的个焦点和个顶点，则该椭圆的标准方程为或以上答案都不对解析直线与坐标轴的交点为由题意知当焦点在轴上时所求椭圆的标准方程为当焦点在轴上时所求椭圆标准方程为故选江苏常州调研若方程表示椭圆，则的取值范围是解析由已知得，解得且，，考点椭圆的定义及标准方程考点二椭圆的几何性质高频考点考点三直线与椭圆的位置关系考点椭圆的定义及标准方程洛阳市高三年级统考已知中心在原点的椭圆的右焦点为直线与椭圆的个交点的横坐标为，则椭圆方程为高考大纲全国卷已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点若的周长为，则的方程为解析依题意，设椭圆方程为，则有，由此解得因此所求的椭圆方程是由，得又的周长为，由椭圆定义，得，得，代入得故的方程为规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤作判断根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能设方程根据上述判断设出方程找关系根据已知条件，建立关于的方程组得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点三直线与椭圆的位置关系考点椭圆的定义及标准方程洛阳市高三年级统考已知中心在原点的椭圆的右焦点为直线与椭圆的个交点的横坐标为，则椭圆方程为高考大纲全国卷已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点若的周长为，则的方程为解析依题意，设椭圆方程为，则有，由此解得因此所求的椭圆方程是由，得又的周长为，由椭圆定义，得，得，代入得故的方程为规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤作判断根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能设方程根据上述判断设出方程找关系根据已知条件，建立关于的方程组得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点则椭圆的方程为已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且⊥若的面积为，则解析设椭圆方程为，且椭圆经过，两点点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得，所求椭圆方程为设则椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度根据椭圆的性质求参数的值或范围由性质写椭圆方程求离心率的值或范围考点二椭圆的几何性质高频考点已知椭圆的个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为椭圆的离心率为，则的值为或或高考江西卷设椭圆的左，右焦点为过作轴的垂线与相交于，两点，与轴相交于点，若⊥，则椭圆的离心率等于椭圆及其几何性质解析圆的标准方程为，圆心坐标为又，椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，若则，由，即，得若则，由，即，解得直线，代入，得高考大纲全国卷已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点若的周长为，则的方程为的周长为，由椭圆定义，得，得，代入得故的方程为规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤作判断根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还过两点则椭圆的方程为已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且⊥若的面积为，则得，所求椭圆方程为设则椭圆的几何性质高频考点已知椭圆的个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为椭圆的离心率为心率等于椭圆及其几何性质解析圆的标准方程为，圆心坐标为又，椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，若规律方法直线与椭圆位置关系判断的步骤联立直线方程与椭圆方程消元得出关于或的元二次方程当时，直线与椭圆相交当时，直线与椭圆相切当分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点如果点的坐标是求此时椭圆的方程关于的焦点的对称