而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极大值点极小值点统称为极值点，极大值极小值统称为极值函数的最值在闭区间，上连续的函数在，上必有最大值与最小值若函数在，上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值若函数在，上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值做做设函数，则为的极大值点为的极小值点为的极大值点为的极小值点解析求导得比较函数在区间端点处和的点的函数值的大小，最大小者为最大小值回归实际问题作答电视生产厂家有两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放型号电视机的价值大规律方法利用导数解决生活中的优化问题的般步骤分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式求函数的导数，解方程考点三利用导数研究生活中的优化问题高考重庆卷村庄拟修建个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度此可知，在处取得最大值，此时即当，时，该蓄水池的体积最当时，令，得令，得，在，上单调递增，在，上单调递减，求函数在，上的最大值解，函数在处与直线相切，解得，将函数的各极值与，比较，其中最大的个为最大值，最小的个为最小值设函数，若函数在处与直线相切求实数，的值在，上的最小值为，符合题意综上有规律方法求函数在，上的最大值和最小值的步骤求函数在，内的极值求函数在区间端点处的函数值，不符合题意当，即时，在，上的最小值可能在或上取得，而,由，得或舍去,当时，在，上单调递减且当，即时,在，上的最小值为,由，得，均不符合题意当，即时，在，上的最小值为初等函数导数及其应用•函数最值的求法当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，单调递增，易知，得，或，，故函数的单调递增区间为，和，因为由，得或栏目导引第二章基本，其中当时，求的单调递增区间若在区间，上的最小值为，求的值解当时，由，得或由只可能是或当，故是的极小值点当时，故不是的极值点所以的极小值点为，无极大值点考点二函数的最值问题高考江西卷已知函数，且解得，由知因为，所以的根为于是函数的极值点的符号变化情况如下单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减的极大值为和，的极小值为由题设知和的值设函数的导函数，求的极值点解函数的定义域为当变化时，么在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点已知函数求的极大值和极小值已知，是实数，和是函数的两个极值点求和么在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点已知函数求的极大值和极小值已知，是实数，和是函数的两个极值点求和的值设函数的导函数，求的极值点解函数的定义域为当变化时，的符号变化情况如下单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减的极大值为和，的极小值为由题设知，且解得，由知因为，所以的根为于是函数的极值点只可能是或当，故是的极小值点当时，故不是的极值点所以的极小值点为，无极大值点考点二函数的最值问题高考江西卷已知函数，其中当时，求的单调递增区间若在区间，上的最小值为，求的值解当时，由，得或由，得，或，，故函数的单调递增区间为，和，因为由，得或栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用•函数最值的求法当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，单调递增，易知，且当，即时,在，上的最小值为,由，得，均不符合题意当，即时，在，上的最小值为，不符合题意当，即时，在，上的最小值可能在或上取得，而,由，得或舍去,当时，在，上单调递减,在，上的最小值为，符合题意综上有规律方法求函数在，上的最大值和最小值的步骤求函数在，内的极值求函数在区间端点处的函数值将函数的各极值与，比较，其中最大的个为最大值，最小的个为最小值设函数，若函数在处与直线相切求实数，的值求函数在，上的最大值解，函数在处与直线相切，解得，当时，令，得令，得，在，上单调递增，在，上单调递减，考点三利用导数研究生活中的优化问题高考重庆卷村庄拟修建个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度此可知，在处取得最大值，此时即当，时，该蓄水池的体积最大规律方法利用导数解决生活中的优化问题的般步骤分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式求函数的导数，解方程比较函数在区间端点处和的点的函数值的大小，最大小者为最大小值回归实际问题作答电视生产厂家有两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放型号电视机的价值分别为万元，农民购买电视机获得的补贴分别为，万元已知厂家把总价值为万元的两种型号电视机投放市场，且两种型号的电视机投放金额都不低于万元，请你制定个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值精确到，参考数据解设型号电视机的价值为万元，农民得到的补贴为万元则型号电视机的价值为万元，由题意得，由，得当，时，当，时，所以当时，取最大值即厂家分别投放两种型号电视机价值为万元和万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约为万元方法思想转化与化归思想求解曲线间交点问题高考课标全国卷Ⅱ已知函数，曲线在点,处的切线与轴交点的横坐标为求证明当时，曲线与直线只有个交点解，曲线在点，处的切线方程为由题设得，所以证明由知，设由题设知当时，单调递增所以在，有唯实根当时，令，则，在，单调递减，在，单调递增，所以所以在，没有实根综上，在上有唯实根，即曲线与直线只有个交点名师点评本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线与直线只有个交点问题转化为证明方程只有个根，分和两情况给予说明转化与化归原则般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题高考北京卷设为曲线在点，处的切线求的方程证明除切点，之外，曲线在直线的下方解设，则所以，所以的方程为证明令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于∀，满足，且当时,所以，故单调递增所以∀，所以除切点之外，曲线在直线的下方第讲导数与函数的极值最值第二章基本初等函数导数及其应用函数的极值函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极大值点极小值点统称为极值点，极大值极小值统称为极值函数的最值在闭区间，上连续的函数在，上必有最大值与最小值若函数在，上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值若函数在，上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值做做设函数，则为的极大值点为的极小值点为的极大值点为的极小值点解析求导得,令，解得，易知是函数的极小值点，所以选函数在区间，上的最大值是解析，令，得或，最大值为辨明两个易误点求函数极值时，误把导数为的点作为极值点易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念明确两个条件是在，上成立，是在，上单调递增的充分不必要条件二是对于可导函数，是函数在处有极值的必要不充分条件做做已知是函数的个极值点，则实数解析，由，得，经检验满足条件考点函数的极值问题高频考点考点二函数的最值问题考点三利用导数研究生活中的优化问题考点函数的极值问题高频考点函数的极值是每年高考的热点，般为中高档题，三种题型都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度知图判断函数极值的情况已知函数解析式求极值已知极值求参数值函数的定义域为开区间其导函数在，内的图象如图所示，则函数在开区间，内的极大值点有个个个个解析依题意，记函数的图象与轴的交点的横坐标自左向右依次为，当当时，当时当时因此，函数分别在，处取得极大值，故极大值点有个规律方法运用导数求可导函数的极值的步骤先求函数的定义域，再求函数的导数求方程的根检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点已知函数求的极大值和极小值已知，是实数，和是函数的两个极值点求和的值设函数的导函数，求的极值点解函数的定义域为当变化时，的符号变化情况如下单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减的极大值为和，的极小值为由题设知，且解得，由知因为，所以的根为于是函数的极值点只可能是或当，故是的极小值点当时，故不是的极值点所以的极小值点为，无极大值点考点二函数的最值问题高考江西卷已知函数么在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点已知函数求的极大值和极小值已知，是实数，和是函数的两个极值点求和的值设函数的导函数，求的极值点解函数的定义域为当变化时，的符号变化情况如下单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减的极大值为和，的极小值为由题设知，且解得，由知因为，所以的根为于是函数的极值点只可能是或当，故是的极小值点当时，故不是的极值点所以的极小值点为，无极大值点考点二函数的最值问题高考江西卷已知函数，其中当时，求的单调递增区间若在区间，上的最小值为，求的值解当时，由，得或由，得，或，，故函数的单调递增区间为，和，因为由，得或栏目导引第二章基本初等函数导数及其应用•函数最值的求法当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，单调递增，易知，且当，即时,在，上的最小值为,由，得，均不符合题意当，即时，在，上的最小值为，不符合题意当，即时，在，上的最小值可能在或上取得，而,由，得或舍去,当时，在，上单调递减,在，上的最小值为，符合题意综上有规律方法求函数在，上的最大值和最小值的步骤求函数在，内的极值求函数在区间端点处的函数值将函数的各极值与，比较，其中最大的个为最大值，最小的个为最小值设函数，若函数在处与直线相切求实数，的值求函数在，上的最大值解，函数在处与直线相切，解得，当时，令，得令，得，在，上单调递增，在，上单调递减，考点三利用导数研究生活中的优化问题高考重庆卷村庄拟修建个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度和的值设函数的导函数，求的极值点解函数的定义域为当变化时且解得，由知因为，所以的根为于是函数的极值点，其中当时，求的单调递增区间若在区间，上的最小值为，求的值解当时，由，得或由初等函数导数及其应用•函数最值的求法当，时，单调递增当，时，单调递减当，时，单调递增，易知，不符合题意当，即时，在，