所以，在时，故，的最大值为设为正实数，且满足，试求的最小值解析由均值不等式得不等式两边分别相加得即故，的最小值是已知为正实数，且满足，求的最大值解析由，则不符合题设，即此时无解当时，由是个偶函数可得，故是最小值为，是最大值为，即若，则的最小值为，即，解之及可得，故此时区间，为，若则的最小值为，即，即两式相加得将式代入后化简得由得，则区间，为，当时，的最大值是，即是最大值为，是最小值为，即即两式相减得即则的最小值为，最大值为，求区间，解析首先，是个偶函数，在，区间单调递增，在，区间单调递减当时，为单调递减函数，即故令，则方程变为采用判别式法得，即，即故，的最小值是设函数在区间，的最小值解析由已知条件得，即代入，得，即则故由得，的最小值是已知，求，当时，由均值不等式，即代入已知条件，得则当时，由均值不等式，即得则的最小值解析首先设，代入得，即，则当时，由均值不等式，即得的值域是即即对比两式得，，即，因，故故实数，已知为正实数，且，求函数将函数变形为，即其判别式不等式为即而函数故函数在该区间的值域是，综上，函数的值域是已知函数其中的值域是求实数，解析函数的定义域为，为单调递减函数故有故函数在该区间的值域是，在，区间，函数即，即在，区间，函数的极值为在区间的边界有即，即在，区间，函数的极值为在区间的边界有故函数在该区间的值域是，在，区间，函数，为单调递减函数故有故函数在该区间的值域是，综上，函数的值域是已知函数其中的值域是求实数，解析函数的定义域为将函数变形为，即其判别式不等式为即而函数的值域是即即对比两式得，，即，因，故故实数，已知为正实数，且，求函数的最小值解析首先设，代入得，即，则当时，由均值不等式，即得则当时，由均值不等式，即得则当时，由均值不等式，即代入已知条件，得则故由得，的最小值是已知，求，的最小值解析由已知条件得，即代入，得，即令，则方程变为采用判别式法得，即，即故，的最小值是设函数在区间，的最小值为，最大值为，求区间，解析首先，是个偶函数，在，区间单调递增，在，区间单调递减当时，为单调递减函数，即故是最大值为，是最小值为，即即两式相减得即则，即两式相加得将式代入后化简得由得，则区间，为，当时，的最大值是，即若，则的最小值为，即，解之及可得，故此时区间，为，若则的最小值为，即，则不符合题设，即此时无解当时，由是个偶函数可得，故是最小值为，是最大值为，即即则，为元二次方程的两个根，由韦达定理得则由得，异号不符合题设，即此时无解综上，区间，为，或，已知，求函数，的最大值解析由可知，函数，的定义域是，有均值不等式，即即，即，当时，，即，可以取到不等式的等号。

故函数，的最大值是求函数的最小值解析函数其定义域为令，则，于是当时，，即，即，则所以，是可以取到的故的最小值是正是由于时，函数取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设，代入，后得，即，即，即即，这两个结果分别对应于将代入得函数的极值为在，区间，函数单调递增，故于是，函数在该区间的值域是，在，区间，函数单调递减，故于是，函数在该区间的值域是，综上，函数的值域是，求函数的值域解析函数的定义域是本题采用判别式法令则即，即即由的判别式得即，即，即故或，即或由于式即的条件必须那满足，故此时，，函数的值域为，求函数的最大值解析由均值不等式得所以，在时，故，的最大值为设为正实数，且满足，试求的最小值解析由均值不等式得不等式两边分别相加得即故，的最小值是已知为正实数，且满足，求的最大值解析由由柯西不等式得即故因此，的最大值是设为锐角，求的最小值解析将与通分，并与最后项合并得由得代入式得再由辅助角公式得代入式得由式，当达到最大值时，达到最小值，即当时，故，当时，达到最小值，最小值为设为锐角，求证解析因为为锐角，函数定义域为，，所以构造函数则函数的导函数为因为，，所以即在定义域，区间，函数为单调递增函数，故，即证毕已知为正实数，求证解析采用待定系数法解本题令，则，于是，即令，则代入得，即，即代入式得证毕另种方法参数法令，，代入得，即证，即证，即证即证而这是显然成立的证毕个求极值和值域专题求函数的值域求函数的值域求函数的值域求函数的值域已知函数其中的值域是求实数，已知为正实数，且，求函数的最小值已知，求，的最小值设函数在区间，的最小值为，最大值为，求区间，已知，求函数，的最大值求函数的最小值求函数的值域已知实数满足和，求的最小值求函数，的最小值已知，求函数，的最小值已知点，在椭圆上，求，的最大值求函数的值域求函数的值域求函数的最大值设为正实数，且满足，试求的最小值已知为正实数，且满足，求的最大值设为锐角，求的最小值设为锐角，求证已知为正实数，求证个求极值和值域专题解析求函数的值域解析函数的定义域为函数的导函数为当，时，，则即函数在，区间为单调递减函数，故故函数在该区间的值域是，当，时，，则即函数在，区间为单调递增函数，故故函数在该区间的值域是，综上，函数的值域是求函数的值域解析函数的定义域是，待定系数法