迭代法，就是应用幂法作用在上，来求的模最小特征值和对应的特征向量。

因此，其基本迭代格式为是的模最大分量，。

反幂法主要用来求特征向量，是在用种方法求得的个特征任何个阶的实对称矩阵均可对角化，且存在阶的正交阵使得为对角阵，在复数域上我们称矩阵个相似矩阵具有相同的特征值。

所以，我们可以考虑矩阵的相似对角化，即对于个矩阵找出和它在数域中的相似的对角阵。

那么对角阵的对角线上的个元素恰好是的所有特征值重根按重数计，证明略。

实对称矩阵的相似对角化性质阶实对称矩阵有个实特征值重根按重数计。

实对称矩阵的属于不同特征值的实特征向量必正交。

实对称矩阵的属于不同特征值的实特征向量必正交。

定理实对称矩阵的相似对角化性质阶实对称矩阵那么对角阵的对角线上的个元素恰好是的所有特征值重根按重数计，证明略。

部分内容简介存在中的可逆矩阵使得。

同时由特征值和特征向量的定义和性质，我们可以得知两个相似矩阵具有相同的特征值。

所以，我们可以考虑矩阵的相似对角化，即对于个矩阵找出和它在数域中的相似的对角阵。

那么对角阵的对角线上的个元素恰好是的所有特征值重根按重数计，证明略。

实对称矩阵的相似对角化性质阶实对称矩阵有个实特征值重根按重数计。

实对称矩阵的属于不同特征值的实特征向量必正交。

定理任何个阶的实对称矩阵均可对角化，且存在阶的正交阵使得为对角阵，在复数域上我们称矩阵为酉矩阵。

矩阵特征值的计算方法非对称特征值问题的计算方法幂法。

幂法是就是那种个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的种迭代方法。

假定是可对角化的矩阵。

那么可以得到个式子，其中是的特征向量空间中的个向量，那么当充分大时，就是特征值的对应的个特征向量。

可以由此得到个迭代格式是的模最大分量其中是任意给定的初始向量，通常要求∞。

如果们想要接着求接下来的特征向量和特征值，那么就需要利用已经求得的特征值把原矩阵降阶。

最简单实用的收缩技巧是利用正交变换。

假设并假设酉矩阵使得这里，。

将上式带入上上式并整理可得即的右下为个的矩阵，它的特征值就是除了以外的特征值。

那么对的右下矩阵继续做幂法即可。

而得到的变换可以使用复的变换来实现。

反幂法。

反幂法又称作反迭代法，就是应用幂法作用在上，来求的模最小特征值和对应的特征向量。

因此，其基本迭代格式为是的模最大分量，。

反幂法主要用来求特征向量，是在用种方法求得的个特征值的近似值之后，应用反幂法于上。

也就是说，在实际计算中，常用的是带位移的反幂法。

设是给定的位移。

带原点位移的反幂法的迭代格式如下从上述的迭代格式上可以看出，反幂法每迭代次就需要解个线性方程组，这比幂法的运算量大得多。

但是，由于方程组的系数矩阵不随着变化，所以，可以先把系数矩阵做分解，然后就只需要解两个三角矩阵方程组就可以了。

方法。

方法是自电子计算机问世以来矩阵计算的重大进展之，也是目前计算般矩阵的全部特征值和特征向量的最有效方法之。

方法是利用正交相似变换将个给定的矩阵逐步约化为上三角矩阵或拟上三角矩阵的种迭代方法，其基本收敛速度是二次的，当然原矩阵实对称时，可以达到三次收敛。

算法的基本迭代格式如下其中为酉矩阵，为上三角矩阵。

方法有很多加速和优化的方法，例如双重步位移的迭代方法。

考虑如下的迭代格式带位移的方法，这样可以在迭代的过程中会有复数的产生。

如果开始就给出两个值，就可以使用双重步位移的方法。

对称特征值问题的计算方法对称方法。

利用矩阵是对称的性质对方法进行优化。

方法。

种比较古典的求解方法，利用正交变换消去非对角线位置上的非元。

代码见附录。

第章根据矩阵的情况对问题的讨论些特殊情况的解当矩阵是对角阵的情况若矩阵是个对角阵，那么我们不妨设对角线上的元素为。

那么就可以转化为个非常简单的方程，。

然后利用这个条件，我们先分析和这最后的两个式子，不妨令，那么这两个方程可以重写作这是个二元方程组，而这个方程里面和的解的情况是否有解，有解的话是唯解还是无穷多解和系数，有相当大的关系。

我们只要分情况讨论就可以了。

分类情况步骤≠，≠。

如果和不相等，那么。

如果和相等，那就看下和的情况如果和不相等，那么就定无解了如果和相等，那么就相当于这两个方程其实是个方程，我们只要找出和前个不相等的即可。

，≠。

由于≠，所以定不能等于，而，则只能让取的值了。

≠，。

类似于的情况只能取。

，。

那么就找出和前个不相等的即可。

具体实现代码见如果存在，那么就定是满足的。

不取的对角线上的元素即∉。

这就保证了矩阵定是可逆的，显然其逆矩阵上也是个对角阵。

那么可以变形为由于和是可求的，那么我们不妨令，和对角线上的值为，。

那么我们甚至可以直接把的具体表达式写出来然后利用这个条件，可以得到然后对上式进行整理，在对进行整理就可以得到个关于的方程这个方程的的值，我们可以利用些数值方法，例如牛顿法来求，只需要给出个∉的初值就可以了。

那么，我们就把的值给确定下来了。

需要提出的是，如果直接对作牛顿迭代的话，是会有很大的麻烦的。

因为由于不能取值，那么就相当于在方向上给挖了最多有个坑，或者说是由这个坑把的零点隔开了当然不定保证两个相邻的之间有零点。

而我们知道，牛顿迭代法对初值是有定的依赖性的，所以，初值被夹在两个之间，而这两个之间如果没有零点的话，那么这个迭代法就不会收敛了，所以我们要将做稍微的变化。

最显而易见的方法就是给乘上个多项式，例如可以令，其中。

由于不能取，那么就保证了是非零的。

同时，的导数也非常容易求。

那么，我们就可以比较放心的取的初值了。

以上两个方法的关键都是在于对于实对称的矩阵，首先要求出的特征值，并且对于第二种情况，我们还要求出对应的酉矩阵。

对于实对称矩阵求特征值和特征向量的方法，我们已经在上文中提及了。

所以，我们只需要在这些方法中选取我们所需要的方法比如可以使用迭代法来求出特征值和特征向量就可以了。

那么，对于矩阵是实对称的情况，我们也就解决了。

当矩阵是实矩阵的情况当矩阵是实矩阵的时候，个简单的想法也是对方程进行相似对角化，不过是在复数域上的相似对角化，即，其中∈，。

那么可以整理为同对的处理办法，我们依然分两种情况讨论，即取的对角线上的元素即∈。

这种情况和是实对称矩阵的时候几乎是完全相同的，只是解方程的时候是在复数域上。

不取的对角线上的元素即∉。

对于这种情况，我们要重新更新的表达式，即写出中的具体形式。

这里，不妨令，和对角线上的值为，。

类似于实对称的情况，可以得到然后同理，利用这个条件，并整理可以得到只关于的方程那么，同理，我们类似的对构造出，然后再在复数域上利用牛顿法就可以求出的值了，当然，最后求出的也有可能是实数值的。

矩阵是实矩阵的情况和矩阵是实对称的时候我们处理办法似乎是非常相同的，不过最大的区别就是在于矩阵是实对称的时候，我们需要的是个酉矩阵，而是般的实矩阵的时候我们需要矩阵在复数域上的用来作相似对角化矩阵的矩阵和，并满足。

而要求出以及它的逆矩阵的代价似乎会比较大些。

具体的复杂度分析会在下文中给出。

第章复杂度分析和数值例子对于确定算法的复杂度分析对于矩阵是对角阵的算法的复杂度分析显然，由于矩阵是对角阵，那么我们在上文中提及的算法在时间和空间复杂度上都是的。

对于矩阵是上三角矩阵的算法的复杂度分析由于矩阵是上三角矩阵采用的算法和矩阵是对角阵时基本相同，那么此时的时间和空间复杂度都是即读入数据的复杂度。

对于矩阵是实对称矩阵的算法的复杂度分析对于矩阵是实对称矩阵的情况。

我采用的算法是先对矩阵用方法计算出矩阵的特征值和特征向量组成的酉矩阵，时间复杂度单次处理是，对于非对角元要消次，所以相当于要做次，那么总体复杂度是。

对于取特征值的情况就直接带入式中判断并求解的值，单个特征值的复杂度为，所以对于最多个特征值，时间复杂度会达到对于不取特征值的情况，利用推导出的函数使用牛顿迭代法求出个零点，牛顿迭代法迭代次需要计算相关的函数，其时间复杂度为，然后迭代次数为的大小和精度相关，所以总体时间复杂度是。

然后再将求出的回代到