论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这思想方法，我们称之为分类讨论的思想分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点分类讨论问题般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察解决分类讨论问题，需要学生具有定的分析能力和分类技巧分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是化整为零，积零为整，从而增加了题设条件的解题策略运用分类讨论的思想解题的基本步骤确定讨论对象和确定研究的全域对所讨论的问题进行合理的分类分类时需要做到不重复不遗漏标准统分层不越级逐类讨论即对各类问题详细讨论，逐步解决归纳总结，整合得出结论明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有由数学概念引起的分类讨论如绝对值定义等比数列的前项和公式等等由数学运算要求引起的分类讨论如偶次方根非负对数中的底数和真数的要求不等式两边同乘实数对不等号方向的影响等等由函数的性质定理公式的限制引起的分类讨论由几何图形中点线面的相对位置不确定引起的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列组合问题，实际应用题等。

分类讨论思想的类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的问题中的条件是分类给出的解题过程不能统叙述，必须分类讨论的涉及几何问题时，由几何元素的形状位置的变化需要分类讨论的。

二经典例题剖析辽宁已知函数，则的值域是，，，，解析，答案点评本题考查绝对值的定义分段函数三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。

广东已知是实数，函数，如果函数在区间，上有零点，求的取值范围解析由函数的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是次函数，还是二次函数，因而需就和两类情况进行讨论。

答案函数在区间，上有零点，即方程在，上有解，时，不符合题意，所以≠，方程在，上有解或或或或所以实数的取值范围是或点评本题主要考察二次函数及其性质元二次方程函数应用解不等式等基础知识，考察了数形结合分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力运算求解能力。

海南宁夏设函数若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于解析函数的极值单调性是函数的重要性质。

极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题。

答案Ⅰ，依题意有，故从而的定义域为，当时，当时，当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间，单调减少Ⅱ的定义域为方程的判别式ⅰ若，即，在的定义域内，故无极值ⅱ若，则或若，当时，，当时，，所以无极值若，，也无极值ⅲ若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在，取得极值综上，存在极值时，的取值范围为，的极值之和为点评本题主要考查函数的导数极值单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。

般地可导函数的极值存在要求有两个条件是方程在的定义域内有解二是在方程的根的两边导数的符号要相反。

因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。

天津在数列中，其中求数列的前项和解析数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的个重点内容，对于它们的解决要掌握些方法。

答案由，，可得，所以为等差数列，其公差为，首项为，故，所以数列的通项公式为设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和点评本题考查数列的通项公式和前项和。

对于等比数列的前项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论。

全国卷Ⅱ设等比数列的公比，前项和为已知求的通项公式解析本题是考查数列的基本题，知三求二。

答案由题设知则，由得，，，因为，解得或当时，代入得，通项公式当时，代入得，通项公式点评本题在运算过程中，由于参数值的不同导致结果的变化，因而需要分类讨论。

上海直角坐标系中，，分别是与，轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若则的可能值个数是解析由得由于为，则，，都可能为直角，由向量数量积为，分别有或或，解得或。

答案点评本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的。

将骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为解析连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为的等差数列有个，公差为或的等差数列有个，公差为或的等差数列有，所以满足条件中的概率为答案点评本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数。

陕西已知椭圆的离心率为，短轴个端点到右焦点的距离为Ⅰ求椭圆的方程Ⅱ设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值解析圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系。

答案Ⅰ设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为Ⅱ设，当⊥轴时，当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，，当且仅当，即时等号成立当时，，综上所述当最大时，面积取最大值点评本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系。

对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。

三方法总结与年高考预测方法总结分类讨论是种重要的数学思想方法，是种数学解题策略，它已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为其，分类讨论问题般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查其二，解分类讨论问题要有定的分析能力定的分类技巧，有利于学生能力的考查其三，分类思想与生产实践和高等代数都紧密相关。

解分类讨论问题的实质将整体化为局部，各个击破，到达解决问题的方法。

分类讨论要注意的几点根据问题实际，分类时做到不重复不遗漏熟练地掌握基本知识基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，上解好分类讨论问题的前提条件不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性要注意简化和避免分类讨论，优化解题过程。

二年高考预测分析历届高考试题，考查分类讨论的思想问题出现的频率高，其考查的知识点也呈现出些特点，根据这些问题，在年高考中，以下内容值得注意以函数特别是二次函数为载体，考查函数性质图像方程的根不等式数列解析几何的有关分类讨论问题几何图形的位置变化，引起解决问题需要分类讨论。

这几年在解析几何中考查较多，要注意对立体几何问题的考查导数是为解决有关函数性质提供了种新的手段，同时也是衔接高等数学的个切入点，在单调性极值方面与分类讨论息息相关，在高考中出现频繁，要引起高度重视。

四强化训练选择题湖南五校联考若不等式对恒成立，则实数的取值范围是，，，，浙江卷对，，记，，函数，的最小值是若且，则实数中的取值范围是函数的图象与轴的交点至少有个在原点的右侧，则实数的取值范围为年江苏卷圆的切线方程中有个是曲线与曲线的焦距相等离心率相等焦点相同准线相同湖北卷以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为年上海卷如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对，是点的距离坐标已知常数给出下列命题若，则距离坐标为，的点有且仅有个若，且≠，则距离坐标为，的点有且仅有个若≠，则距离坐标为，的点有且仅有个上述命题中，正确命题的个数是年全国