1、在年间又创立了理想数理论。如针对上面例子，在引入理想数,,后，就可以唯地表示成四个因子乘积。后来德国数学家戴德金又把库默尔工作系统化并推广到般代数数域，从而创立了现代代数数理论。戴德金将代数数概念般化之后，遂开始重建代数数域中唯因子分析定理，他引进了代数数类来代替理想数，为了纪念库默尔理想数，他把它们称为理想。代数数域中整数环除子半群中元素。理想数概念是由德国数学家库默尔在研究分圆域上算术时提出来。在世纪中叶，很多数学家还不清楚在代数整数环中是否和整数环样有素因子唯分解定理，就连大数学家柯西也认为唯分解是对。库默尔就此问题与狄利克雷展开讨论，在年他认识到分解是不唯。于是，在年库默尔提出了理想数概念。如果从理想数观点看，整数环分解是唯。库默尔理想数就是现今理想雏形。在库默尔理想数理论基础上，戴德。
2、论。对此，高斯写了如下评语戴德金先生准备论文是关于积分学项研究，它决不是般。作者不仅显示出对有关领域具有充分知识而且这种独创性也预示出他未来成就。作为批准考试试验论文，我对这篇论文完全满意。年高斯去世后，狄里赫利来到哥廷根。戴德金听到狄里赫利数论，位势理论，定积分和偏微分方程等内容，获益匪浅。他很快与狄里赫利有了密切交往，并进入了狄里赫利和他朋友们社交活动。年冬到年，戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数课程。他自己也在到年先后讲授两个学期伽罗瓦理论。他可能是第个开伽罗瓦理论人。在讲课中，他引进了域概念，并且把置换群概念用抽象群概念来取代。年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲授微积分课程中深感分析基础薄弱，从此开始实数理论基础研究。他在月日得出了自己连续性和无理数理论，并在几天后告诉了他朋友杜瑞热。年以连续性与无理数出版。这。
3、需求密切相关，对自然探索是数学研究最丰富源泉。但是，数学发展对于现实世界又表现出相对性。种数学理论经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想产生。因此，内在逻辑需要也是数学进步重要动力之。过于看重数学进展对现实需要依赖，而忽视数学发展内在动力，难免产生对数学发展前景悲观预见生产实践需要数学发展动力数学内部矛盾数学家求知欲实际上，就在世纪后半叶，数学内部悄悄积累矛盾已经开始酝酿新变革。当时数学家们面临着系列数学自身产生长期悬而未决问题，其中最突出是高于四次代数方程根式求解问题欧几里得几何中平行公理证明问题牛顿莱布尼兹微积分算法逻辑基础问题。在世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。世纪代数学新生时代代数方程可解性与群发现发现者阿贝尔伽罗瓦发展者凯莱若尔当克莱因李中世纪阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程学问。直到世纪初，。
4、和克罗内克创立了般理想理论。戴德金将每个理想数与环中理想对应起来，这个理想被他定义为环中由及能被这个理想数整除所有元素组成子集。若是理想生成元，则对应于理想数是理想数最大公因子。后来，理想概念推广到任意环上，那些理想概念与除子概念相致环，现称之为戴德金环。理想数戴德金理想论年生于德国不伦瑞克年月日卒于不伦瑞克。戴德金父亲是位法学教授，母亲是位教授女儿。年戴德金进入了卡罗琳学院，这也是高斯母校。在那里他学到了解析几何，代数分析，微积分以及力学和自然科学。年复活节，他进入哥廷根大学学习。当时哥廷根刚刚建立起数学和物理学讨论班，在那里他跟斯特恩学到数论基础知识，跟韦伯学习物理。年黎曼也参加讨论班，他们很快结下了深厚友谊。戴德金还学习了物理和天文，并听过高斯最小二乘法和高等测量学。他只上了四个学期就在高斯指导下准备博士论文,题目是关于欧拉积分理。
5、式，如此等等，以至无穷。如时等等每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和。费马数形如数永远是素数年，费马给梅森信中提出。佩尔方程解当是正数而非完全平方数时，佩尔,方程有无穷个整数解。年月,费马给德贝西信中提出。世纪数论尤其受到了费马思想主宰，该时期得到许多结果，都与证明费马提出这些猜想有关。数论进展年，欧拉推翻了费马关于费马数结论，证明时，不是素数，它有个因子。今天我们知道，对于，都是合数。还存在其他使是合数。年，欧拉证明了费马小定理是正确。年，欧拉在致哥德巴赫,封信中宣布证明了时费马大定理。其证明使用了种称为“无限下降法”技巧。该技巧实际也是费马发明。他曾使用这种方法证明了如下定理边长为整数直角三角形其面积不可能是整数平方。这也是费马惟写出了证明过程定理。证明大意是令为直角三角形边长，是斜边，则有,设三角形面积为,是整数，三角形面积。
6、表示成四个或少于四个平方数之和。费马数形如数永远是素数年，费马给梅森信中提出。佩尔方程解当是正数而非完全平方数时，佩尔,方程有无穷个整数解。年月,费马给德贝西信中提出。世纪数论尤其受到了费马思想主宰，该时期得到许多结果，都与证明费马提出这些猜想有关。数论进展年，欧拉推翻了费马关于费马数结论，证明时，不是素数，它有个因子。今天我们知道，对于，都是合数。还存在其他使是合数。年，欧拉证明了费马小定理是正确。年，欧拉在致哥德巴赫,封信中宣布证明了时费马大定理。其证明使用了种称为“无限下降法”技巧。世纪几何与代数分析光芒使世纪综合几何发展暗然失色，但分析方法应用却开拓出了个崭新几何分支，即微分几何，从而改变了世纪几何学面貌。“代数”在世纪数学家心目中则是“分析”同义语，他们将分析看作是代数延伸。在这种情况下，世纪代数学为下个世纪革命性发展做出了必。
7、数，可表示成至多个数次幂之和，其中依赖于。“华林问题”与哥德巴赫猜想，以及费马那些未获得解决命题起，为后世数论研究提供了持久刺激。华林问题直至年才由德国数学家希尔伯特首次证明。年，费马大定理也由英国数学家维尔斯证明，而哥德巴赫猜想至今仍然悬而未决。格尔曼世纪数论还有两项深刻工作需要特别提到，它们都属于欧拉。个是欧拉在年导出个恒等式该恒等式在数论与分析之间架起了座桥梁，是解析数论肇端。另个是欧拉在年发现二次互反律。诚如他所预言，二次互反律在世纪成为数论研究重要课题并引出“许多伟大结果”，从而开启了代数数论新领域。,其中,取遍所有正整数，取遍所有素数。从世纪初开始，数学经历了近两个世纪开拓，在世纪行将结束时候，数学家们对自己从事这门科学却奇怪地存在着种普遍悲观情绪。拉格朗日于年在写给达朗贝尔信中说“在我看来似乎数学矿井已经挖掘很。
8、本概念，而且对研究抽象结构有着明确理解。他给出了有限群抽象定义，推广了理想及域概念。年在研究群论中引进换位子群概念，并证明他是正规。在他通信启发下，从年起发展了群特征标理论，成为群表示论强有力工具。另外，他还是格论创始人。他抽象代数思想后来被希尔伯特和诺特大大发展。但诺特认为，她抽象代数理论在戴德金那里已经有了。朗道在年哥廷根召开纪念戴德金讲演中对他作了崇高评价戴德金不仅是位伟大数学家，而且是从古到今整个数学史上真正杰出人物。他是他那时代最后位英雄，高斯最后位学生。他本人多年来已是经典作家，不仅我们，而且我们老师乃至老师老师都从他工作中受到启发。代数对象是什么数运算算术数实数复数四元数超复数向量四则运算初等代数运算抽象运算运算对象运算规律次方和它四次方都只能以两种方式其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷。如时等等每个正整数。
9、应为依靠套巧妙推理,费马导出了另组正整数和,因为和有同样性质，故根据同样推理可导出另组正整数使得，，且有且有,使得这推理过程可以无限继续下去，这将引出矛盾，因为不可能有无限下降正整数序列，所以结论只能是不存在面积为个整数平方而边长均为整数直角三角形。费马还曾在给朋友信中宣称自己用无限下降法证明了时费马大定理，但却没有寄出证明过程。德贝西根据费马提示在年补出了这证明。无限下降法在世纪成为种证明数论问题有用技巧。世纪数学家们也有自己猜想，其中最著名是哥德巴赫猜想与华林问题。年月日，哥德巴赫在给欧拉信中提出了自己猜想每个偶数是两个素数之和每个奇数是三个素数之和。哥德巴赫原始陈述相当含糊，欧拉将其进步明确化，但却未能证明这个命题。哥德巴赫猜想现在表述形式是英国数学家华林在他代数沉思录中首先给出。华林在同著作中还提出了他自己个猜想任自。
10、代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们注意力集中在了五次和高于五次代数方程上。二次方程解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程理论系统化。三四次方程求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心自然是般五次或更高次方程求解。在解出三四次方程后整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法存在性。但是寻求这种解法努力却都以失败而告终。挪威数学家。年月日生于芬岛个牧师家庭,年月日卒于弗鲁兰。岁入奥斯陆所教会学校学习,年轻数学教师霍尔姆博发现了阿贝尔数学天才,对他给予指导。少年时,阿贝尔就已经开始考虑些数学问题。年在些教授资助下,入奥斯陆大学。在学校里,他容易证明这四个因子都是素整数，可见唯分解定理不成立。为了重建唯分解定理，使得普通数论些结果在推广到代数数论时仍能成立，为了使普通数论些结果在推广到代数数论时仍能成立，库默。
11、深了，除非发现新矿脉，否则迟早势必放弃它，科学院中几何学指数学处境将会有天变成目前大学里阿拉伯语处境样，那也不是不可能。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日观点。法国法兰西学院份关于年以来数学科学进展历史及其现状报告更是预测在数学“几乎所有分支里，人们都被不可克服困难阻挡住了把细枝末节完善化看来是剩下来惟可做事情了，所有这些困难好象是宣告我们分析力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义由来，可能是因为世纪数学与天文力学紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展几乎惟源泉，而旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。当然也有人看到了曙光，孔多塞在年写道“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前终点，我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途第步！”世纪末数学发展悲观情绪从根本上说，数学发展与人类生产实践和社。
12、书问世连同魏尔斯特拉斯分析基础传播以及康托尔集合论诞生，标志着现代数学新时期来临。年他出版了数是什么数应当是什么。这本书有很大影响，特别是影响皮亚诺得出其著名算术公理。戴德金无理数理论核心是他分割概念。个分割把所有有理数分成两类，使得第类中每个数都小于第二类中每个，每个分割对应于个实数。这样在有理数之外，就引进了无理数概念。这是建立在有理数已经存在基础之上。再进步，如何建立自然数，有理数，就直接导致了皮亚诺自然数公理。在哥廷根和瑞士期间，戴德金致力于狄里赫利到年数论讲义和黎曼全集编辑工作。在年数论讲义第二版附录中，戴德金首次发表了自己域论及理想理论以及由此建立般代数数论。而系统代数数论是他在至年发表代数整数论，其部分内容收入数论讲义年第三版。更为完整理论则作为年第四版附录出版。戴德金是近代抽象数学先驱。他或明显或隐含定义了抽象代数许多基。
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