1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....为离散频域变量，则可将傅立叶变换对定义如下,般地，是实函数，是复函数，可以写成。其中，分别为复数的实部和虚部。下式为幅度函数，称为的傅立叶谱称为相位函数既可以在幅度函数上嵌入水印，也可以在相位函数上嵌入水印。中，如果为实函数，则共需要次实数与复数的乘法，次复数加法，次实数与复数乘法需要两次实数乘法，次复数加法需要两次实数加法，所以总共需要次实数乘法，次实数加法，因此时间复杂度为，当很大时，计算机是无法接受的。因此人们想出了快速傅立叶变换。快速傅立叶变换年，美国的两位工程师和提出了快速傅立叶变换。的基本思想是令序列的长度为，如果不满足，在尾部补零，没有任何影响......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....在表达些观点时，种语言会比另种语言优越。类似地，图像处理者在解决问题时会在空域和频域之间来回切换。傅立叶变换把个时域信号函数分解为众多的频率成分，这些频率成分又可以准确地重构成原来的时域信号，这种变换是可逆的且保持能量不变。下面两个公式给出了傅立叶变换及其逆变换从时域到频域称为变换，从频域到时域称为逆变换，信号函数和它的变换是同能量信号的两种不同表现形式。分析理论十分完善，既可以处理连续的信号也可以处理离散的信号。计算机只能处理离散的信号，于是离散变换成为计算机实现变换的第种形式。下面我们仅讨论维离散傅立叶变换和二维离散傅立叶变换。维离散傅立叶变换对个连续函数等间隔采样得到个离散序列。设共采样个数据。则这个离散序列可表示为,......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....否则,不含有水印。然而在另外些情况下,对嵌入图像中的水印信息要求比较高。比如要求所嵌入的信息是可读的或可视的,如有意义的信息文字,图像等。这种有意义的水印具有无意义水印无可比拟的优点。因此,本章结合伪随机序列与有意义水印,提出了基于傅立叶域相关性检测的水印算法。为了提高水印的安全性,在嵌入水印前用变换对水印图像进行了置乱,下面先介绍变换。基于变换的图像置乱算法变换，又称猫脸变换，是在研究遍历理论过程中提出的种变换。假设图像为。令,这就是单位正方形上的变换。实际上，可以令离散图像的像素坐标扩展到幅图像上，对于幅大小为算法承受各种攻击的能力，即水印的攻击分析，以促进水印系统的不断提高......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....变换后为,可以证明存在以下变换对这表明，图像阵列,在空间域中旋转了角度后，变换系数矩阵在频率域中也旋转同样的角度。同样的，如果变换域系数阵列在频率域中旋转角度后，则反变换后获得的空间域图像,必然旋转角度。比例缩放性函数,的尺寸缩放到,时，其对应的频谱关系为这表明图像在空域按比例缩放，其傅立叶频域反方向缩放相同比例。傅立叶变换的这三种典型性质在构造抵抗几何攻击的水印算法时十分有利。基于傅立叶域相关性检测的半盲水印引言目前,图像水印技术的研究对于水印鲁棒性的要求比较高,有相当部分算法采用伪随机噪声来构造水印,与之相应,采用相关性检验来检测被检测图像中是否含有水印。当被检测图像中所提取的待测序列与原始水印具有较强的相关性时......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....希望能从水印攻击分析的角度找出合适的抗攻击手段。公钥数字水印系统，即作者使用个专有的密钥来叠加水印信号，而任何人均可通过个公开的密钥来检测出水印信号，但是从公开的密钥推导专有密钥和从公开的密钥来去除水印信号两个过程都应当是非常困难的。这目标旦有所突破，将最大限度的提高水印系统的实用价值，正如公钥系统在传统密码学领域的贡献样。目前的公钥数字水印是利用公钥加密来达到的，安全的纯公钥数字水印算法是否存在在理论上还是个未知数。也可以利用水印黑盒来实现公钥数字水印。这些都是值得研究的课题。基于内容的数字水印系统。建立于统计特征集合上的系统很容易受到非线性变换等方法的攻击，而基于更高层的内容特征叠加水印信号似乎具有更强的抵抗力......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....,那么,为奇数为偶数将和代入上式整理得上式右边的两部分恰好是长度周期为的,的傅立叶变换所以,和可简记为图蝶式算法图蝶式算法这样个长度为的就分解为两个长度为的,然后进行次复数的蝶式运算，再运用分解递归的思想，分解次，每次均有个蝶形运算，个蝶形运算包含次复数乘法和两次复数加法，所以的时间复杂度为。二维离散傅立叶变换在数字图像处理中，图像信号是二维的，所以下面我们讨论二维离散傅立叶变换。只要考虑两个变量，就很容易将维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对如下,二维离散傅立叶变换的傅立叶谱相位功率谱与维的类似......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....我们可以考虑对数极坐标，它的定义为,显然，在笛卡儿坐标系里，任何元素,的旋转将对应于对数坐标系中的平移。同样，笛卡儿坐标系中的缩放将对应于极坐标系中的平移。使用坐标系的适当调整，旋转和缩放都能变成种平移。这样，这种平移的不变特性能用于构造种空间，这种空间对水印图像的任何旋转或缩放操作都不敏感。这种方法的缺点是使用强不变性变换，而这种变换是很难实现的，而且目前水印信号的工作并不是基于强不变性的，强不变性对水印应用是不必要的。这种方法的特点是利用坐标之间的变换来实现不变的目的。此方法具有很好的抗几何失真的能力，并与扩频方法相结合得到很好的抗信号失真的特性，但是该方法需要很大的计算量。实际上......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....根据待隐藏的信息类型，对其进行适当编码或变形再次，确定种规则或算法，用待隐藏的信息的相应数据去修改前面选定的变换域系数序列最后，将数字图像的变换域系数经相应的反变换转化为空间域数据。该类算法的隐藏和提取信息操作复杂，隐藏信息量不能很大，但抗攻击能力强，很适合于数字作品版权保护的数字水印技术中。另外，还有利用分形混沌数学形态学奇异值分解等方法来嵌入水印，以及在压缩域嵌入水印的方法。目前有很多人在寻找新的更合适的变换域，来进行水印的嵌入与检测。傅立叶域水印理论基础傅立叶变换简述傅立叶变换是研究信号的频谱方法，它架起了时域和频域之间的桥梁。打个比方来说，傅立叶变换就好比描述函数的第二种语言......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....相位,功率谱式可分离为式可分离为可见，个二维傅立叶变换或反变换都可分解为二步进行，其中每步都是个维傅立叶变换或反变换，也即先对图像进行维行傅立叶变换或列傅立叶变换，然后再进行维列傅立叶变换行傅立叶变换。傅立叶变换性质傅立叶变换的典型性质有下列三种。空间域平移性空间域内的图像,的原点平移到点,时，其对应的频谱变换关系为即频谱乘上个负的指数项，造成相位平移，而幅度不改变。因为这表明图像在空间域的平移不改变傅立叶域的幅度谱，仅对相位角有影响。旋转不变性在空间域中以极坐标,取代在变换域以,代替使得显然，在变换前图像为......”。