中。

在直角三角形中所对的直角边等于斜边的半点到直线的距离小于，这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路上沿方向行驶到点处学校开始受到影响，那么，由勾股定理得，。

同理，拖拉机行驶到点处学校开始脱离影响，那么，。

拖拉机行驶的速度为。

答拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为秒。

总结升华勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。

举反三变式如图学校有块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷径，在花园内走出了条路。

他们仅仅少走了步路假设步为，却踩伤了花草。

解析他们原来走的路为设走捷径的路长为，则故少走的路长为又因为步为，所以他们仅仅少走了步路。

答案变式如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

直接写出单位正三角形的高与面积。

图中的平行四边形含有多少个单位正三角形平行四边形的面积是多少求出图中线段的长可作辅助线。

答案单位正三角形的高与关于对称，所以，。

因为四边形是矩形，所以，在中，所以。

所以。

设，则。

在中即，解得。

即的长为。

为，面积是。

如图可直接得出平行四边形含有个单位正三角形，因此其面积。

过作⊥于点如图所示，则在中，故类型三数学思想方法转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决如图所示，是等腰直角三角形是斜边的中点，分别是边上的点，且⊥，若，求线段的长。

思路点拨现已知，要求，但这三条线段不在同三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接解连接因为，又因为为的中线，所以⊥且因为又因为所以所以≌所以同理在中，根据勾股定理得，所以。

总结升华此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解当已知的线段和所求的线段不在同三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同直角三角形中求解。

二方程的思想方法如图所示，已知中求的值。

思路点拨由，再找出的关系即可求出和的值。

解在中，则，由勾股定理，得。

因为，所以，。

总结升华在直角三角形中的锐角的所对的直角边是斜边的半。

举反三变式如图所示，折叠矩形的边，使点落在边的点处，已知求的长。

解因为只脚正确原命题对顶角相等正确原命题线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确原命题角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确思路点拨掌握原命题与逆命题的关系。

解析逆命题有四只脚的是猫不正确逆命题相等的角是对顶角不正确逆命题到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确逆命题到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确总结升华本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

如果的三边分别为，且满足，判断的形状。

思路点拨要判断的形状，需要找到的关系，而题目中只有条件，故只有从该条件入手，解决问题。

解析由，得，。

。

。

，。

由勾股定理的逆定理，得是直角三角形。

总结升华勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。

举反三变式四边形中求四边形的面积。

答案连结勾股定理，勾股定理逆定理变式已知的三边分别为，为正整数，且，判断是否为直角三角形分析本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明即，求。

思路点拨首先要确定斜边最长的边长，然后利用勾股定理列方程求解。

解此直角三角形的斜边长为，由勾股定理可得化简得，但当时，总结升华注意直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

变式以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是解析此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用的变形来判断。

例如对于选择，≠，以为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。

答案变式四边形中求四边形的面积。

解连结勾股定理，勾股定理逆定理四边形类型二勾股定理的应用如图，公路和公路在点处交汇，且，点处有所中学，。

假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨要判断拖拉机的噪音是否影响学校，实质上是看到公路的距离是否小于，小于可证明所以是直角三角形变式如图正方形，为中点，为上点，且。

请问与是否垂直请说明。

答案答⊥。

证明设，则。

连接如图。

，⊥。

经典例题精析类型勾股定理及其逆定理的基本用法若直角三角形两直角边的比是，斜边长是，求此直角三角形的面积。

思路点拨在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析设此直角三角形两直角边分别是根据题意得化简得直角三角形的面积总结升华直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。

举反三变式等边三角形的边长为，求它的面积。

答案如图，等边，作⊥于则等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合等边三角形各边都相等在直角三角形中即注等边三角形面积公式若等边三角形边长为，则其面积为。

变式直角三角形周长为，斜边长为，求直角三角形的面积。

答案设此直角三角形两直角边长分别是根据题意得由得，得直角三角形的面积是变式若直角三角形的三边长分别是，。

，。

，。

四边形类型三勾股定理的实际应用用勾股定理求两点之间的距离问题如图所示，在次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点。

求两点之间的距离。

确定目的地在营地的什么方向。

解析过点作即为直角三角形由已知可得，由勾股定理可得所以在中即点在点的北偏东的方向举反三变式辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门答案由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于如图所示，点在离厂门中线米处，且⊥，与地面交于解米大门宽度半，米卡车宽度半在中，由勾股定理得