写正文作准备。

二元函数重极限和累次极限的关系及其求解。

主要参考文献华东师范大学数学系数学分析下册第版北京高等教育出版社，王旭琴重极限与累次极限的关系南昌高专学报，许汪涛关于多元极限的概念陕西师范大学继续教育学报，赵丽琴，白云芬累次极限与重极限的关系研究石家庄学院报，黄克武论重极限与累次极限的等价性云南教育学院报，张同琦浅议元函数重极限与累次极限的关系渭南师范学院报，陈继修，於崇华，金路数学分析第版下册北京高等教育出版社，翟明娟多元函数重极限的几种求法晋东南师范专科学校学报，罗志敏，汪琳类多元函数极限的计算科技创新导报，裴礼文数学分析中典型问题与方法第版北京高等教育出版社，于英凤关于多元函数的极限辽宁师范大学学报自然科学版，阎明刚用定义证明多元函数极限的个方法商丘师专学报自然科学版，张俊显重极限的研究石家庄大学报，毕业论文文献综述数学与应用数学元函数重极限和累次极限的关系及其求解极限思想也是社会实践的产物。

追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的种原始的极限思想的应用古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人对无限的恐惧，他们避免明显地取极限，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。

到了世纪，荷兰数学家斯泰文在考察角形重心的过程中在无意中指出了把极限方法发展成为个实用概念的方向。

极限思想的进步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动变化过程的新工具。

牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。

他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础，他说两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。

但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。

牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述如果当无限增大时，无限地接近于常数，那么就说以为极限。

维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。

所谓，就是指如果对任何ε，总存在自然数，使得当时，不等式，总存在自然数，使得当时，不等式ε恒成立。

存在问题我们所讨论的多元函数是从元函数的分析中推断出来的，并且考虑的定义域都是实数域。

由于研究对象所存在的域或空间不同，那么他们的性质也会有定的变化，比如泛函分析中同样有极限的存在，但他们所研究的对象就会有所不同。

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。

数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题例如求瞬时速度曲线弧长曲边形面积曲面体体积等问题，正是由于它采用了极限的思想方法。

但是在实际生活的应用中仍需要问题的需要不断改进函数极限值存在的条件使之更加贴近现实。

参考文献华东师范大学数学系数学分析下册第版北京高等教育出版社，王旭琴重极限与累次极限的关系南昌高专学报，许汪涛关于多元极限的概念陕西师范大学继续教育学报，赵丽琴，白云芬累次极限与重极限的关系研究石家庄学院报，黄克武论重极限与累次极限的等价性云南教育学院报，张同琦浅议元函数重极限与累次极限的关系渭南师范学院报，陈继修，於崇华，金路数学分析第版下册北京高等教育出版社，翟明娟多元函数重极限的几种求法晋东南师范专科学校学报，罗志敏，汪琳类多元函数极限的计算科技创新导报，裴礼文数学分析中典型问题与方法第版北京高等教育出版社，于英凤关于多元函数的极限辽宁师范大学学报自然科学版，阎明刚用定义证明多元函数极限的个方法商丘师专学报自然科学版，张俊显重极限的研究石家庄大学报，罗志敏。

浅谈重极限交换次序的问题赤峰学院报学报自然科学版，届本科毕业设计数学与应用数学元函数重极限与累次极限的关系及其求解正文目录引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„预备知识„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数累次极限的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数重极限的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数的重极限与累次极限之间的区别与联系„„„„„„„„„„„„„„重极限与累次极限的区别„„„„„„„„„„„„„„„„„„„重极限与累次极限的联系„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数极限存在的命题及几种常见的求解方法„„„„„„„„„„„„„极限存在的命题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„极限求解的几种常见的方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数极限不存在的命题及常见的判定方法„„„„„„„„„„„„„„极限不存在的命题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„极限不存在的两种常见判定方法„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„元函数重极限与累次极限的关系及其求解摘要在累次极限与重极限定义的基础上讨论了累次极限与重极限的关系，并且指出累次极限不能看作重极限特例的根本原因本文探讨了重极限是否存在和具体求解的几种常见方法关键词元函数重极限累次极限计算判别法引言极限思想是近代数学的种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础极限理论为主要工具来研究函数的门学科纵观极限理论发展的历史，极限理论在数学分析中不可磨灭的作用与地位及相关极限的求法，同时我们可以看到许多科学家都为此做出了卓绝的功绩除了几分敬佩之情油然而生外也从他们身上学到了对科学执著的追求，同时极限理论的建立也说明种新的数学方法的建立，是在不断深化认识的基础上，由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系统通过对极限的学习，我们应该有种基本的观念就是极限是研究变量的变化趋势的或说极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果元函数的极限是在元函数的基础上发展起来的，者之间既有联系也有区别但是由于自变量的增多，使得多元极限变得相当复杂，产生了些新的问题，这里我们讨论元函数的重极限与累次极限的关系并给出极限是否存在和具体求解的几种常见方法预备知识元函数的定义设平面点集，若按照对应法则，中每点，有唯确定的实数与之对应，则称为定义在上的元函数或称为到的个映射，记作，，且称为的定义域所对应的为在点的函数值，记作或，元函数累次极限的定义设，是的聚点，是的聚点，元函数在集合上有定义，若对每个，，存在极限，，由于此极限般与有关，记作，，而且进步存在极限，则称此极限为元函数先对后对的累次极限，并记作，，或简记作，类似可定义先对后对的累次极限，元函数重极限的定义设元函数，为定义在上的元函数，设点，为的个聚点，是个确定的常数，如果对，，使得当，时，都有，则称在上当时以为极限记作也可简写为或注重极限定义中，，蕴含着和的同时性和任意性，同时性是指当，时蕴含着同时，任意性则是指，作为中任意点，不管以何种方式趋向于点，函数，都趋向于唯固定数值，这正是重极限求解的难点之处同时反过来考虑，这也为判断重极限的不存在提供了方法，即若沿两条不同的曲线趋于时，函数的极限不同或不存在，则此函数在的重极限不存在由累次极限的定义很容易看出，求累次极限的实质是求两次元函数的极限，因此，累次极限又称次极限元函数的重极限与累次极限之间的区别与联系重极限与累次极限的区别由定义可知，重极限与累次极限的本质不同，者之间并没有蕴含关系，并且，两个累次极限之间也没有蕴含关系两个累次极限都存在但不相等，重极限不存在例考察元函数，在点，的重极限和累次极限解让动点，沿着直线趋近原点，有，右边的结果表明，它的值随着而变，也即随路径而变因此函数，在点，的重极限不存在下边考察累次极限，，，由上边推导可以看出，，在点，的重极限不存在，两个累次极限都存在这说明，两个累次极限都存在，并不能保证重极限的存在就累次极限本身来说，两个累次极限都存在但也不定相等两个累次极限存在且相等，重极限不存在例设，，求，在点，处的累次极限和重极限解首先，在点，处的累次极限都存在，分别为，，，再求重极限，令，沿直线趋于，时由于此时，，因而当，沿直线趋于，时，，即动点沿不同斜率的直线趋于原点，时，对应的极限值也不同因此所讨论的函数的极限不存在，即重极限不存在由上边的推倒可以看出，在点，的累次极限存在并且相等，但是重极限不存在，说明累次极限的存在且相等不能保证重极限的存在性两个累次极限存在且相等，重极限存在例讨论函数，在点，的重极限与累次极限解显然，是函数唯无定义的点孤立外点，对，，当，时，，即函数，在点，的重极限存在由于，从而，即累次极限