„„„„„„„„„„„„凸函数的判别法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数的运算性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数的分析性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数在不等式中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„凸函数在高中数学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„摘要凸函数是数学分析中类非常重要的函数本文主要对凸函数的定义，判别法，性质进行探究，特别是凸函数的分析性质，然后给出利用凸函数解题的些例子关键词凸函数连续性导数不等式应用引言凸函数是数学分析中类非常重要的函数，其定义和性质在理论和实践中都有着极其重要的作用，而且它们的应用范围之广，价值之高也是有目共睹的因此，在后来数学的发展史中对凸函数的等价定义，性质和应用的研究直是人们研究的重点在学者们日渐深入的研究中，关于凸函数的理论越来越多，研究的方向也越来越细，学者们不单单研究凸函数在具体学科中的应用，还研究其在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用，在高中数学中的应用，在不等式中的应用等等在前人研究的基础上，本文首先给出华东师范大学主编的数学分析上册中凸函数的定义以及几个常用的等价定义其次给出若干个凸函数的判别法，同时辅以相应的例题再次给出凸函数的些运算性质和分析性质最后通过具体例题展示凸函数在解题中的应用，特别是在高中数学解题中的应用通过本文的研究，可以使我们更好，更清楚的看到凸函数定义之间的联系和区别，以及其些性质在解决数学问题中的重要作用，真正的感受到凸函数的魅力所在凸函数的定义由于不同的教材中凸函数定义略有不同，本论文所采用的是如下的定义定义设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数，总有，则称为上的凸凹函数特别地，当上述不等式严格时，称为上的严格凸凹函数几何形状如下图所示凸函数凹函数由这基本定义出发，人们还给出了很多等价定义，如假设，等价定义，，，则称为上的凸函数其几何意义弦的斜率是单调递增的证明必要性记，则由的凸性知道，从而有，，整理后即得充分性在上任取两点，，在，上任取，，即由必要性的推导逆过程，可证得，故为上的凸函数等价定义，，，有，则称为上的凸函数等价定义若在内存在单调递增函数，，，有，则称为凸函数等价定义若，„，，，则称为上的凸函数等价定义为区间上凸函数的充要条件是对任意的，，函数为，上的凸函数凸函数的判别法判别法设为区间上的阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，判别法函数在区间可导，在区间内是凸函数曲线位于它们的任意点切线的上方判别法在，上可导，则为凸函数的充要条件为在，上单调增，为严格凸函数的充要条件为在，上严格递增凸函数的性质凸函数的运算性质性质若为凸函数，则为凹函数，反之亦然性质若，为凸函数，，，则亦为凸函数性质若为凸函数，为单调增加的凸函数，则亦为凸函数性质若为凹函数且，，则为凸函数反之不成立，即若为凸函数，不定为凹函数证明根据假设，要证明为凸函数，只要证明，∈，∈，有事实上，因为凹函数，故有所以从而，要证明只要证明即可注意到可得式显然成立，从而式成立这说明为凸函数另方面，当为凸函数时，不定为凹函数，例如，为凸函数，但仍为凸函数凸函数的分析性质性质若为开区间内的凸凹函数，证明在内任点都存在左，右函数证明下面只证凸函数在存在右导数，同理可证也存在左导数和为凹函数的情形设，则对这里取充分小的，使得，由引理中的式有令，故由上式可见为增函数任取且，则对任何，只要，也有，由于上式左端是个定数，因而函数在上有下界因此极限存在，即存在性质若是定义在区间上的凸函数，则在区间内连续证明可由性质直接得到但需注意如果区间为闭区间只能得出在，上连续，不能得出在与时左右连续例如函数在，上凸函数，但在士处不连续对元凸函数此结果同样成立，即有设是凸开区域，函数，是凸函数，则，在上连续年全国大学生数学竞赛预赛试题性质设为，内的凸函数，则在的任内闭区间，，上满足条件其中条件是指存在常数，使得对上任意两点，都有证明要证明在，上满足条件，即要证明，使得，∈，有因为，故可取充分小，使得，，于此，，∈，，若，取，根据定理有其中，分别表示在，上的上，下界从而，若得，上式等号仅在时成立例设，，则有证明，那么，于是，，，由严格凸函数的定义，其中，，得，即例证明锐角中恒有关系，其中，为内角为其对边，为外接圆半径证明选取函数，因为，取分子为，易知，而，从而，函数为上凸函数，由凸函数的性质性质有，则有，再应用正弦定理有证毕小结凸函数在不等式上的应用是很广泛的，它不仅在角函数，指数函数等些常见函数中具有广泛的应用，而且在些较复杂的不等式中也有很大的应用如琴声不等式等应用凸函数的性质证明不等式可以使很多复杂的证明过程简单化，使得问题的解决变得更加的容易凸函数在高中数学中的应用例第象限的两点，使，成等差数列成等比数列，则，与射线的关系，在上在的下方，在的上方，在的下方，在的上方解略，答案是例如图所示是定义在，上的个函数，其中满足性质对，中任意，恒成立的只有这是凸函数性质与图像联系的简单判断题，易知为例为各项都为正的等比数列，公比≠，则与的大小关系不能判定解在凸函数的图像上所以，选例若，，，则分析简解本题若对凸函数的理解不深刻则很难入手，可构造上凸函数，取则都在上，因为，所以与共线，由凸函数性质，有在之上，在之下如下图，所以，即当，或时，又，所以所以所以例若是组实数，且为定值，试求的最小值解在∞，∞上是凸函数，，当且仅当时，取等号例己知，，，求证证明利用结论，，又，，，即得证小结凸函数是类象形函数，在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念，但因其性质具有明显的直观性，可以考查学生的观察能力和知识迁移能力，又可考查函数的各种性质，还能使平淡的题目增色，所以近年来已受高考命题人的青睐，其在高中数学中的应用也越来越广泛总结凸函数的定义及定理，性质是高中数学的边缘知识，因此，探讨和总结凸函数的性质及应用，对于深刻理解和牢固函数的概念和性质，培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用除此之外，巧妙构造和运用凸函数性质，可以把难题简单化，还能使学生在解决问题的过程中感受到数学美和成功感而从近年的高考命题趋势看，凸函数可能成为考查函数各种性质的载体而成为新热点我们应该重视凸函数在这方面的应用参考文献华东师范大学数学分析上册第版北京高等教育出版社，雷澜凸函数的性质与不等式证明渝州大学学报，裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社，卢兴江，金蒙伟高等数学竞赛教程杭州浙江大学出版社，顾荣函数凹凸性定义的探讨佳木斯教育学院学报，王庆东，侯海军中函数凹凸性判定的充要条件河北理科教学研究，张国坤多元函数的凹凸性再探，曲靖师专学报，陈朝晖元函数凹凸性的判别法及最值探讨高师理科学刊，白景华凸函数的性质等价定义及应用开封大学学报赵文彼，栗洪敏利用函数的凹凸性推导出批积分不等式工科数学，王新奇利用函数的凹凸性证明类角不等式西安文理学院学报自然科学版，于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式辽宁师专学报，沈文国用泰勒公式研究函数凹凸性的种拓广兰州工业高等专科学校学报，普丰山，李兆强连续函数的单调性及凸凹性研究河南科学，陈传璋数学分析北京高等教育出版社，时贞军无约束优化的超记忆梯度算法工程数学学报，孙本旺，汪浩数学分析中的典型例题和方法长沙湖南科学技术出版社，方良秋高考题中的凸函数题型及其应用数学教学通讯报，李碧荣凸函数及其性质在不等式证明中的应用广西师范学院学报，邱忠文，刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明工科数学，陈太道凸函数判定及其应用临沂师范学院学报，古小敏对凸函数定义之间等价性的进步研究重庆工商大学学报自然科学版凸函数的性质与