【毕业设计】数字信号处理讲义--第7章滤波器的设计方法 ㊣ 精品文档 值得下载

理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即平面平面但是，任何个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。

这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有定的失真。

当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。

这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

图脉冲响应不变法中的频响混叠现象对模拟滤波器的单位冲激响应进行采样，采样频率为，若使增加，即令采样时间间隔减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。

模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应，然后采样后得到，再取变换得，过程较复杂。

下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将直接转换为数字滤波器。

设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次般都满足这要求，因为只有这样才相当于个因果稳定的模拟系统，因此可将其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换，即式中，是单位阶跃函数。

在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对的采样，即对求变换，即得数字滤波器的系统函数将式的和式的加以比较，可以看出平面的每个单极点变换到平面上处的单极点。

与的部分分式的系数是相同的，都是。

如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点位于平面的左半平面，即，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即，因此数字滤波器也是因果稳定的。

虽然脉冲响应不变法能保证平面极点与平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个平面与平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随的极点以及系数两者而变化。

从式看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔成反比如果采样频率很高，即很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。

为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令则有例设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数。

解直接利用式可得到数字滤波器的系统函数为设，则有模拟滤波器的频率响应以及数字滤波器的频率响应分别为把和画在图上。

由该图可看出，由于不是充分限带的，所以产生了严重的频谱混叠失真。

图例的幅频特性优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。

因而，个线性相位的模拟滤波器例如贝塞尔滤波器通过脉冲响应不变法得到的仍然是个线性相位的数字滤波器。

脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。

所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器，而且高频衰减越快，混叠效应越小。

至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。

如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。

当然这样会进步增加设计复杂性和例利用频率采样法，设计个线性相位低通数字滤波器，其理想频率特性是矩形的其他已知，采样点数为奇数。

试求各采样点的幅值及相位，也即求采样值。

解，且低通滤波器幅度特性。

由表可知，这属于第类线性相位滤波器。

第类线性相位滤波器的幅度特性关于为偶对称，即且有则满足偶对称特性，因而有又故频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计缺点是采样频率只能等于的整数倍，因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数，但这又使计算量加大。

滤波器的最佳逼近采用窗函数法设计滤波器方法简单，通常会得到个性能相对很好的滤波器。

但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不，，是最优的通带和阻带的波动基本上相等，虽然般需要小于，但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。

所以，窗函数法需要在通带内对滤波器过设计即通带内的技术指标超过所要求的技术指标，这样才能满足阻带的严格要求。

对于大部分窗函数来说，通带内或阻带内的波动不是均匀的，通常离开过渡带时会减小。

若允许波动在整个通带内均匀分布，那么就会产生较小的峰值波动。

另方面，对于个给定的滤波器阶数，在所有频带内波动的幅度最小。

在这个意义上说，等波纹线性相位滤波器是最优的。

所以，等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳致逼近设计法。

个线性相位滤波器的频率响应可以写成式中，幅度是的实值函数。

对于第类线性相位滤波器式中，是奇数。

利用的对称性可以将频率相应表示为式中且有是期望的幅度是个正的误差加权函数，它是为在通，带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。

般地，在要求逼近精度高的频带，取值大要求逼近精度低的频带，的取值小。

设计过程中为已知函数。

设是个加权逼近误差。

等波纹滤波器设计问题就是求系数，要求在组频率上使的最大绝对值最小，例如，为了设计个低通滤波器，频率组可以是通带，和阻带，内的频率，如图所示。

过渡带，是不关心的区域，求加权误差最小时不作考虑，此时可以采用交错定理求这个最优化问题。

图等波纹滤波器设计中的频率组，包括通带，和阻带，过渡带，是不关心的区域交错定理设是，区间内封闭子集的并集，对于个正的加权函数，在上，能成为惟使加权误差最大值最小的函数。

其充要条件是在上至少有个交错值。

也就是说，在上必须至少有个极值频率，不关心区域这样，且，交错定理说明最优滤波器是等波纹的。

虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率或波动最少数目，但是可以有更多的数目。

例如，个低通滤波器可以有个或个极值频率，有个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。

由交错定理可以得到ε，式中，是最大的加权误差绝对值，这些关于未知数以及ε的方程可以写成下面矩阵的形式给定了极值频率，就可以解关于以及ε的方程。

为了求极值频率，可以采用种高效的迭代过程，称作帕克斯麦克莱伦算法。

具体步骤如下估计组初始极值频率可任选。

解方程求ε，可以证明ε的值为式中利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值，计算上的加权误差函数。

④先选择使插值函数最大的个频率，然后再选择组新的极值频率。

如果极值频率改变了，从步骤开始重复迭代过程。

个设计公式可以用来计算个低通滤波器的等波纹滤波器阶数，过渡带宽度为，通带波动为，阻带波动为，该公式为等波纹设计举例例设计个等波纹低通滤波器，通带截止频率，阻带截止频率，通带波动，阻带波动。

解利用式计算滤波器阶数，求由于我们希望阻带内的波动比通带内的波动小倍，所以必须采用加权函数对误差加权，图实际中，般调用信号处理工具箱函数来计算等波纹滤波器阶数和加权函数，调用函数直接求滤波器的单位脉冲响应。

例设计个等波纹低通滤波器，通带截止频率，阻带截止频率，通带波动，阻带波动。

滤波器和滤波器的比较首先，从性能上说，滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，这样来，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。

但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的。

选择性越好，非线性越严重。

相反，滤波器可以得到严格的线性相位。

但是，如果需要获得定的选择性，则要用较多的存储器和较多的运算，成本比较高，信号延时也较大。

然而，滤波器的这些缺点是相对于非线性相位的滤波器比较而言的。

如果按相同的选择性和相同的相位线性要求的话，那么，滤波器就必须加全通网络来进行相位校正，因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。

所以如果相位要求严格点，那么采用滤波器不仅在性能上而且在经济上都将优于。

从结构上看，必须采用递归型结构，极点位置必须在单位圆内否则，系统将不稳定。

此外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的四舍五入处理，有时会引起微弱的寄生振荡。

相反，滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。

此外，滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

从设计工作看，滤波器可以借助模拟滤波器的成果，般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。

又有许多数据和表格可查，设计计算的工作量比较小，对计算工具的要求不高。

滤波器设计则般没有封闭函数的设计公式。

窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通阻带衰减等仍无显式表达式。

般，滤波器设计只有计算程序