1、“.....故存在使得，则有，这与条件矛盾，故，例证明如果，，那么，。解假设，，则存在不可约多项式使得和又因为不可约，则有或。不妨设，由和可得所以同时成立，即，这与条件矛盾，故有，。结论本文通过相关资料的收集与整理，对有理数域上不可约多项式的判定方法做了整理和归纳。对般的多项式给出了克罗内克判别法艾森斯坦判别法判别法判别法没有有理因式的判别法模约化判别法为素数。其中艾森斯坦判别法是最为经典实用的方法，也是现行课本中的判别法。但有其定的局限性。对于克罗内克判别法，其大多依赖于计算机，实用不大。判别法和判别法为国外引进方法，我国数学学者在其有定的研究基础。模约化判别法为素数是我国提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模约化处理，再研究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的判定方法。在实际应用这些方法时......”。

2、“.....有理数域上不可约多项式的判定方法及分类是个具有挑战性的课题。直以来，不乏学者对多项式的不可约性做过深入的研究。但总的来说，暂时没有个较为系统的介绍，其发展还不是很完善。即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法，但还是期待着更加简便，更加实用的方法出现，以致于能把不可约多项式进行分类。参考文献张禾瑞，郝鈵新，高等代数第四版高等教育出版社刘中良，有理数域上多项式不可约的判定科技信息景占策，整系数多项式在上不可约性的判定青海师专学报吴炎，李大超，王奋平等，高等代数选讲远方出版社梅汉飞，龙占洪，个新的多项式不可约判定定理数学通报王瑞，判定上多项式不可约的种方法数学研究与评论巩娟，整系数多项式在有理数域上不可约判别法辽宁师专学报彭学梅，整系数多项式可约性的几个新判别法湖北民族学院学报自然科学版黄宗文......”。

3、“.....田应智，有理数域上的不可约多项式伊犁师范学院学报郭素霞，多项式互素性质的补充讨论科技咨询导报也不可约。令，代入，得由于是素数，且，，，，故由判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域上也不可约。令，代入，得取素数，由于，又但，故由判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域上也不可约。判别法定理设，这里为有理数域。则在有限步下能分解成不可约多项式的乘积。只考虑整系数多项式的情形例证明在上不可约。证明取，，则从而的因子是，的因子是，的因子是，故令应用插值多项式由带余除法可知，不整除，不整除，所以在上不可约。判别法定理设，是多项式......”。

4、“.....则在上不可约。例证明在上不可约证明该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足判别法的条件，由题意可知，所以据判别法可知该多项式在上不可约。判别法定理设是次整系数多项式，令表示中的个数，表示中的素数的个数，如果，则在上不可约。例证明在上不可约证明，，故所以多项式在上不可约。多项式无有理因式判别法定理设是个整系数多项式，若没有次数小于和等于的，所以均不是整式，所以无有理根，由定理，在中不可约。两类特殊不可约多项式的判定奇次不可约多项式的判定定理对于整系数奇次多项式若存在素数使得，，那么，在有理数域上不可约。系数为的不可约多项式的判定定理已知，是系数为的多项式。当为奇数时，在上可约当为偶数时......”。

5、“.....在上可约，如果为素数，在上不可约。推论已知，是系数在的多项式。当为奇数时，在上可约当为偶数时，如果为合数，在上可约，如果为素数，在上不可约。推论已知为正整数是系数在的多项式。当为奇数时，在上可约当为偶数时，如果为合数，在上可约。不可约多项式的应用不可约多项式在重因式中的应用定义不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而。如果，那么根本不是的因式如果，那么称为的单因素如果，那么称为的重因式。如果的标准分解式为那么分别是的重，重，，重因式。定理如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式。推论如果不可约多项式是的重因式，那么是，的因式，但不是的因式。推论不可约多项式是的重因式的充分必要条件为是与的公因式。作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见斑......”。

6、“.....互素的充要条件是有中的多项式，使。定理如果，，且，那么。例证明如果，，，，那么，解假设，，则定存在不可约多项式理因式，并且存在素数，使至少不整除，中的个，那么，在有理数域上不可约。定理设是个整系数多项式，若没有次数小于和等于的有理因式，并且存在素数，使至少不整除，中的个，那么，在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。模约化处理判定法定理，，是素数，，其中，则在中不可约。定理，，是素数，，其中，则在中不可约。定理，，是素数，其中，则在中不可约。定理......”。

7、“.....是素数，，其中，无理想根，则在中不可约。例判断以下多项式在中是否可约，解其中，由定理，在中不可约其中，由定理，在中不可约，，整除其余各项系数，其中，因为的系数全为正数，所以的有理根只可能为负数，设是的有理根，则，或者，并且这样的，是唯决定的。定义数域上的多项式称为能整除，如果有数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不能整除。定理对于数域上的任意两个多项式其中，的充分必要条件是除的余式为零。证明如果那么，即。反过来，如果，那么，即。注带余除法中必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质如果那么，其中为非零常数。如果那么整除的传递性。，那么，其中是数域上任意多项式。本原多项式若是个整系数多项式的系数互素......”。

8、“.....有理数域上多项式的等价设有理数域上的个多项式，若的系数不全是整数，那么以系数分母的个公倍数乘就得到个整系数多项式。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。多项式的不可约相关概念在中学我们学过些具体方法，把个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把进行分解，可分解为但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进步为而在复数域上，还可以再进步分解为由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定个数域作为系数域，数域上多项环中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义数域上的次数的多项式称为域上的不可约多项式......”。

9、“.....我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下次多项式总是不可约多项式个多项式是否不可约是依赖于系数域的不可约多项式与任多项式之间只能是有两种关系，或者或者，，事实上，如果，，那么或者是，或者是，当时，就有。有理数域上可约多项式的定义如果是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则称为有理数域上的不可约多项式。有理数域上不可约多项式的判定方法判别法在高等代数中，判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。直接判别法定理设是个整系数多项式，其中，设存在个素数，使得不整除，整除但不整除，那么多项式在有理数域上不可约。间接判别法对于分圆多项式不能直接应用判别法......”。