1、“.....等价性引言在在文献中的在第章平面点集和多元函数中的第节中提及了上的完备性定理,因为上的完备性定理是元函数极限理论的基础为此,在该书中先给出平面点列的收敛的概念定义设为平面点列,为固定点,若,使当有,则称点列收敛于记作,或,然后再给出上的完备性定理定理柯西准则平面点列收敛的充要条件是任给正数,存在正整数,使得当时,对切正整数,都有,定理闭域套定理设是中的闭域列,它满足则存在唯的点定理聚点定理设为有界无限点集,则在中至少有个聚点推论有界无限点列必存在收敛子列定理有限覆盖定理设为有界闭域,为开域族,它覆盖了即,则在中必存在有限个开域,,它们同样它覆盖了即我们这里要说明上的完备性定理的个定理之间是等价的......”。

2、“.....构成个互不相同的平面点列,则对切自然数,由于,所以,因此,由定义,任给正数,存在正整数,使得当,对切自然数,都有,,则由柯西准则收敛,记作现证,我们任取,对切自然数,都有,再令,由于是闭域,从而必定是闭集,因此作为的聚点必定属于,即最后证明的唯性,若还有,则由,所以,,用闭域套定理证明聚点定理因为是平面有界集合,因此存在个闭正方形,连接正方形对边的中点,把分成个小的闭正方形,则在这个小正方形中,至少有个小闭正方形含有中无限多个点记这个小闭正方形为,再对正方形如上法分成个更小的闭正方形,其中又至少有个闭正方形含有的无限多个点......”。

3、“.....存在点,现证就是的聚点任取的的邻域,当充分大之后,正方形的边长可小于,即有,又由的取法知道中含有的无限多个点,这就表明是的聚点用聚点定理证明有限覆盖定理这里我们先证明聚点定理的推论致密性定理致密性定理有界无限点列必存在收敛子列证明为上的有界点列,若中有无限多个相等的项,则由此组成的点列是常点列,所以收敛若不含有无限多个相等的项,则在平面上必定是有界无限点集,由聚点定理至少有个聚点,设为,则由定义存在个收敛的子列现再证有限覆盖定理设为有界闭域,开域族为的个覆盖,反设不存在中的有限个开域覆盖,由为有界闭域,则必存在中的闭正方形区域,使得将沿对边中点分成个小闭正方形区域,则在个小闭正方形区域中的部分至少有个不能用中的有限个开域覆盖,该正方形区域记为,按上述方法依次进行下去,得到,⋯......”。

4、“.....必有收敛子列令由于为有界闭域,开域族为的个覆盖,则,且存在个开域,使得,同时存在,使得,又正方形的边长趋于,则充分大时,,即充分大时,可由个开域覆盖,这与上述的构造矛盾,即存在中的有限个开域覆盖用有限覆盖定理证明柯西准则若有无穷多项相等即则即而对于存在,使,故即若中没有无限多项相等,则为无限点列而由题设知有界设为有界闭域,反证法,假设不收敛,则都不是极限点,故,,使,中至多有的有限项,否则,中有的无限项由已知条件,存在有定存在且,从而,,即与假设矛盾故存在使,中至多有有限项,显然,覆盖了,从而有有限个开覆盖能覆盖,设覆盖了从而也覆盖了而每个......”。

5、“.....与为无限点列矛盾用柯西准则证明另外个定理为了进步说明上的几个完备性之间的等价性,现在我们用他们之中的个定理去证明另外个定理,在这里我们用柯西准则去证明另外个定理用柯西准则证明闭域套定理闭域套定理设是中的闭域列,它满足则存在唯的点在闭域套的每个内任取点,构成个互不相同的平面点列,则对切自然数,由于,所以,因此,由定义,任给正数,存在正整数,使得当,对切自然数,都有,,则由柯西准则收敛,记作现证,我们任取,对切自然数,都有,,再令,由于是闭域,从而必定是闭集,因此作为的聚点必定属于,即最后证明的唯性,若还有,则由,所以,,用柯西准则证明聚点定理聚点定理设为有界无限点集,则在中至少有个聚点由的有界性,必存在中的闭正方形区域......”。

6、“.....记为取再对按上述方法等份,也至少有个小闭正方形区域中包含的无限个点,记为取这样依次下去,得到中的点列由上述过程知的边长趋于,于是满足柯西准则,设收敛于下面证明是的聚点,对的任意邻域,由于当时,小正方形的边长趋于,则存在,当时,而中含有中的无限个点,即在的任意邻域,中含有中的无限个点,则是的聚点有限覆盖定理设为有界闭域,为开域族,它覆盖了即,则在中必存在有限个开域,,它们同样它覆盖了即假设不存在中的有限个开集覆盖,由为有界连通闭集,则必存在中的闭正方形区域,使得,将沿对边中点分成个小闭正方形区域,则在个小闭正方形区中的部分至少有个不能用中的有限个开集覆盖,该正方形区域记为,按上述方法依次进行下去,得到,取,则为点列由上述过程知的边长趋于,于是满足柯西准则,设收敛于由为有界闭集......”。

7、“.....则存在个开集,使得,也存在,使得,,又正方形的边长趋于,则充分大时,,即可由个开集覆盖,这与上述的构造矛盾,即存在中的有限个开集覆盖用有闭域套证明另外个定理接下来我们运用闭域套定理去证明另外个定理柯西准则有限覆盖定理聚点定理从另个角度再来看看上完备性定理的等价性用闭域套定理证明柯西准则柯西准则平面点列收敛的充要条件是任给正数,存在正整数,使得当时,对切正整数,都有,必要性设,则,,由定义任给,存在正整数,使得当时,有,,而对切自然数,也有,从而也有,,于是由角不等式充分性设点列满足任给正数,存在正整数,使得当时,对切正整数都有,若有无穷多项相等,设,,则,事实上,,而对于,存在,使故......”。

8、“.....取,则存在正整数,使得当时,对切自然数,都有,取,则当,有,即外最多有的有限项,从而内有的无限多项,取点,,令,则外最多有的有限项,且,直做下去,取,,则外最多有有限项,,得到闭域套,满足,因此,存在唯,满足,,,使得,令,则,而外最多有有限项,故外最多有的有限项,从而点列收敛于有限覆盖定理设为有界闭域,为开域族,它覆盖了即,则在中必存在有限个开域,,它们同样它覆盖了即用反证法假设有界闭集不能被中有限个开集覆盖,则因为为有界,所以存在个闭正方形包含它,连接各对边中点把分成个小正方形,则其中至少有个小闭正方形包含的子集不能被中有限个开集覆盖,再把按上述方法分成个更小的闭正方形......”。

9、“.....则的直径ⅲ每个所包含的子集都不能被中有限个开集覆盖于是有条件ⅰⅱ及闭域套定理,存在唯的点,现证,由于每个都不能被中有限个开集覆盖,且的每个点都属于中至少个开集,所以内必含有的无限多个点,任取,,构成个各点互不相同的平面点列则因为,,由于定义是的聚点,又为闭集,所以有定理条件覆盖了,所以至少存在个开集,使得是的内点,因此存在的个领域,,又因为,所以对上述,存在正整数,使得当时,,从而闭正方形,,即当时,中的个开集就能覆盖,这与条件ⅲ矛盾,于是得到在中比存在有限个开集覆盖聚点定理设为有界无限点集,则在中至少有个聚点因为是平面有界集合,因此存在个闭正方形,连接正方形对边的中点......”。