基础的行列中,这其中相当重要的部分就是实数的完备性公理,实数的完备性定理包括条,这条是等价的。作为分析学早期的经典定理之,聚点定理成为了分析的基础,是研究实数的几何性质的重要工具,后来,因为它是很多拓扑空间所共有的性质,终于使数学家修正了聚点的原始定义,赋予它拓扑含义,进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛,求极限,证明定理中有用,还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了有限与无限,是个质的变化,对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数,有限覆盖定理起了很大作用。除此之外,致密性定理,确界定理,单调有界定理,区间套定理在证明些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近步学习有十分重要的意义。弄清了实数完备性个定理之间的相互转化就弄清了实数完备性。实数完备性是微积分的理论基础,个基本定理分别从不同的角度来描述与刻画,循环论证在很多书上可以看到,相互论证却难以找到,因此,为了对实数完备性有个深层次的认识,我将对实数完备性个定理之间的相互论证进行探究。研究的主要内容,拟解决的主要问题阐述的主要观点研究的主要内容确界存在定理非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界单调有界定理单调有界数列必收敛区间套定理设是闭区间套则存在唯的点,使对有致密性定理任有界数列必有收敛子列聚点定理每个有界无穷点集必有聚点有限复盖定理闭区间的任开复盖必有有限子复盖收敛准则数列收敛是列个定理之间的相互论证,创新证明的方法与思路。研究工作步骤方法及措施思路。主要途径有图书馆书籍网络资源教师资源及个人资源。确认材料和分析分类材料。思考论文布局及写出初稿。其实确界定理,单调有界定理,区间套定理,致密性定理,聚点定理,收敛准则,他们都指出,在种情况下便有这样的种点存在。条定理是等价的。作为分析学早期的经典定理之,聚点定理成为了分析的基础,是研究实数的几何性质的重要工具,后来,因为它是很多拓扑空间所共有的性质,终于使数学家修正了聚点的原始定义,赋予它拓扑含义,进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛,求极限,证明定理中有用,还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了有限与无限,是个质的变化,对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数,有限覆盖定理起了很大作用。除此之外,致密性定理,确界定理,单调有界定理,区间套定理在证明些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近步学习有十分重要的意义。区间套定理设是闭区间套则存在唯的点,使对有。致密性定理任有界数列必有收敛子列。聚点定理每个有界无穷点集必有聚点。有限覆盖定理闭区间的任开覆盖必有有限子覆盖。收敛准则数列收敛是列。应用单调有界定理证明确界定理证明设的上界为将等分若右半区间含中的点,则将右半边记为,若右半区间不含中的点,则将左半边记为,依次下去则得区间套,单调递增,单调递减且∞根据单调有界定理均收敛根据区间套,的构造及上确界的定义,极限值就是上确界。对于利用准则证明确界定理与上述方法样,不同之处在于利用准则来证明极限存在。利用致密性定理证明确界定理时,我们在,中取,在,中取,依次下去,便得收敛子列,收敛子列以为极限,易知是上确界。利用聚点定理证明确界定理时,令,至少有个聚点,而是的上确界。应用准则证明单调有界定理证明设的上界为,将,等分若右半区间含中的点,那么根据单调性,在右半边就会有无穷多个点,且左半边只有有限个点,将右半边记为,若右半区间不含中的点,也就是左半边有无穷多的点,将左半边记为,依次下去则得区间套,单调递增,单调递减且∞根据准则均收敛,且对任意的,在,外只有有限个的点,换句话说,在的极限的领域外只有的有限个点,那么的极限就是的极限。对于利用聚点定理证明单调有界定理时,令至少有个聚点,而就是极限。利用致密性定理证明单调有界定理时,与应用准则证明单调有界定理样,不同的是取的是,的子列。应用单调有界定理证明致密性定理证明设的上界为,下界为,将,等分若右半区间含中无穷多个点,则将右半边记为,若右半区间仅含中有限个点,则将左半边记为,依次下去则得区间套,单调递增,单调递减根据单调有界定理均收敛,且收敛于同个数中取,那么由迫敛性收敛,是的收敛子列。实数完备性定理相互论证及应用。区间套定理设是闭区间套则存在唯的点,使对有。致密性定理任有界数列必有收敛子列。聚点定理每个有界无穷点集必有聚点。有限覆盖定理闭区间的任开覆盖必有有限子覆盖。收敛准则数列收敛是列。其实确界定理,单调有界定理,区间套定理,致密性定理,聚点定理,收敛准则,他们都指出,在种情况下便有这样的种点存在。条定理是等价的。作为分析学早期的经典定理之,聚点定理成为了分析的基础,是研究实数的几何性质的重要工具,后来,因为它是很多拓扑空间所共有的性质,终于使数学家修正了聚点的原始定义,赋予它拓扑含义,进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛,求极限,证明定理中有用,还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了有限与无限,是个质的变化,对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数,有限覆盖定理起了很大作用。除此之外,致密性定理,确界定理,单调有界定理,区间套定理在证明些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近步学习有十分重要的意义。毕业论文开题报告数学与应用数学实数完备性定理相互论证及应用选题的意义对牛顿和莱布尼兹创立了微积分,但是当时分析的基础还极其不完善,这导致了第次数学危机,直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中,这其中相当重要的部分就是实数的完备性公理,实数的完备性定理包括条,这条是等价的。作为分析学早期的经典定理之,聚点定理成为了分析的基础,是研究实数的几何性质的重要工具,后来,因为它是很多拓扑空间所共有的性质,终于使数学家修正了聚点的原始定义,赋予它拓扑含义,进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛,求极限,证明定理中有用,还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了有限与无限,是个质的变化,对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数,有限覆盖定理起了很大作用。除此之外,致密性定理,确界定理,单调有界定理,区间套定理在证明些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近步学习有十分重要的意义。弄清了实数完备性个定理之间的相互转化就弄清了实数完备性。实数完备性是微积分的理论基础,个基本定理分别从不同的角度来描述与刻画,循环论证在很多书上可以看到,相互论证却难以找到,因此,为了对实数完备性有个深层次的认识,我将对实数完备性个定理之间的相互论证进行探究。研究的主要内容,拟解决的主要问题阐述的主要观点研究的主要内容确界存在定理非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界单调有界定理单调有界数列必收敛区间套定理设是闭区间套则存在唯的点,使对有致密性定理任有界数列必有收敛子列聚点定理每个有界无穷点集必有聚点有限复盖定理闭区间的任开复盖必有有限子复盖收敛准则数列收敛是列个定理之间的相互论证,创新证明的方法与思路。研究工作步骤方法及措施思路。主要途径有图书馆书籍网络资源教师资源及个人资源。确认材料和分析分类材料。思考论文布局及写出初稿。实数完备性定理相互论证及应用。反证法利用反证法可以进行以下证明聚点定理确界定理有限覆盖定理准则致密性定理区间套定理单调有界定理利用反证法的基本思路假设欲证结论不成立,构造开覆盖,再利用有限覆盖定理推出矛盾。应用有限覆盖定理证明聚点定理证明反证法设为直线上有界无限点集,存在使得,假定,中的任何点都不是的聚点,则对,内至多包含的有限多个点,构造则为个开覆盖,覆盖从而覆盖,根据有限覆盖定理,存在子覆盖,„„,由于每个,中只含的有限个点,这与是无限点集矛盾。应用有限覆盖定理证明确界定理证明反证法假设无上确界,对,有,任取考虑对,当为的上界时,使得在,皆不为的上界故上每点都存在,它们要么每点都为上界,要么每点都不是上界,这些领域组成个开覆盖,则根据有限覆盖定理,必有子覆盖,„„覆盖,根据所在的开区间,判断应皆为的上界,而两个相邻的开覆盖有交集,经过有限次邻接后,所在邻域也皆是的上界,矛盾。应用有限覆盖定理证明区间套定理证明反证法若每点都不是公共点,则每个均可以找到个开邻域有,与,不相交,当时,便有,与,不相交,又构成个开覆盖,则根据有限覆盖定理,必有子覆盖,„„,我们只需取每个子覆盖对应的最大的,即„„,这样便有,不在区间上,得出矛盾。应用有限覆盖定理证明准则证明反证法设的上界为,下界为,为列若,中的任意点均不是的极限,则至少有两个收敛子列,对于这个结论,在本论文的最后我会给出解释,在此直接应用,我们可以先证只有两个收敛子的情况,设两个收敛子列分别收敛于则除了外对于中只有中的有限项,我们分别取的个领域,使这两个领域不相交,构成个开覆盖覆盖当然覆盖则根据有限覆盖定理,必有子覆盖,„„覆盖我们取,„„,存在,当,时,有时,所有的都在子覆盖其中的两个中。那么中有无限个不满足要求,矛盾。对于应用有限覆盖定理证明单调有界定理,应用有限覆盖定理证明致密性定理,与的证明类似。构造区间套与反证法相结合利用区间套与反证法相结合可以进行以下证明确界定理准则致密性定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理单调有界定理应用区间套定理证明有限覆盖定理证明反证法假设结论不成立,即不能用中的有限个开区间来覆盖将,等分为两个子区间,则其中至少有个子区间不能用中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为则,且依次下去得到闭区间列它满足,且∞,即,