数学学科中队伍最大综合性最强的领域之,而且成为数学以外学科最为关注的领域之。它的发展极大地推动了自然科学工程技术乃至社会科学的发展。尤其是地球椭圆轨道的计算海王星的发现弹道轨道的定位大型机械震动的分析自动控制的设计气象数值预报按龄人口增长宏观预测等等,微分方程未知提供了关键技术的支撑。反过来这些实际问题也推动了微分方程领域走向纵深,使之成为当今经济发展社会进步所不可缺少的门高技术。微分方程是研究自然科学,工程技术及社会生活中些确定性现象的重要工具。通过研究微分方程的解的各种属性,我们就能解释些现象对未来的发展趋势做出预测或者为我们设计新的装置提供参考。参考依据朱乃明,李虹利常微分方程重庆西南师范大学出版社,常微分方程手册北京科学出版社,王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松常微分方程北京高等教育出版社,周义仓,靳祯,秦军林常微分方程及其应用方法理论建模计算机北京科学出版社,张伟年,杜正东常微分方程北京高等教育出版社,陈伟解阶线性常微分方程的积分因子法高等数学研究,李德新两类特殊微分方程的积分因子解法高等数学研究,郑重武类微分方程的积分因子及其解法运城学院学报,吴春絮微分方程中几种特殊积分因子的求法及应用铜陵职业技术学院学报,侯谦民利用积分因子解微分方程湖北教育学院学报,陈明玉阶常微分方程有形如积分因子的充要条件大学数学,潘鹤鸣几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用巢湖学院学报,杨淑荣,赵红军元函数积分因子的般求法高等数学研究,丁渝生常数变易法与积分因子法河南电大杨宗永用积分因子法试解阶微分方程成都纺织高等专科学校学报,届本科毕业设计数学与应用数学微分方程的积分因子解法目录引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„两个基本概念恰当方程„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分因子„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„特殊形式的积分因子的求法方程存在只与或有关的积分因子的充要条件„„„„„„„方程存在给定形式的积分因子的充要条件„„„„„„„„„„求解实例„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„较复杂方程的积分因子的求法„„„„„„„„„„„„„„„„„求解实例„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„微分方程的积分因子解法摘要恰当微分方程可以通过积分求出它的通解因此能否将个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念关键词常微分方程恰当方程积分因子引言在学习常微分方程理论时,总是对不同类型的方程给出不同的解法能否有种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢著名的美国数学史家克莱因在所著的古今数学思想中写到总的说来,这门学科还是各种类型的鼓励技巧的汇编,然而寻求普遍解法的努力从十世纪就直没有停止过在其论文中指出凡是可用变量分离法的地方可以用积分因子法由此本文对教材中常见类型的阶常微分方程,包括可分离变量方程齐次方程阶线性微分方程贝努利方程等,讨论用积分因子法求解的般方法两个基本概念恰当方程求解方程,时,平常看待,将上述方程写为下述对称形式,有时会更方便些现在我们考虑比上述方程更般的对称形式的微分方程,注意在关于这种方程的求解问题中,既可视为自变量,又可视为自变量,这要根据具体情况使其方便而定若方程的左端恰好是个元函数,的全微分,即,,则称方程是恰当方程或全微分方程积分因子定义如果存在连续可微的函数,,使得为恰当微分方程,即存在函数,使则称,为方程,的积分因子特殊形式的积分因子的求法方程存在只与或有关的积分因子的充要条件若方程存在只与有关的积分因子,则,这时方程变为即由此即知方程存在只与有关的积分因子这里仅是的连续函数假如条件成立,则由即可求得方程的个积分因子为同理可求得方程存在只与有关的积分因子这里仅是的连续函数,从而可求方程有仅与有关的个积分因子为方程存在给定形式的积分因子的充要条件方程存在给定形式的积分因子,具有阶连续偏导数这里仅是的连续函数事实上,因故将代入,得即由此可知方程存在给定形式的积分因子,具有阶连续偏导数,这里仅是的连续函数假如成立,则由可求方程的个给定形式的积分因子为求解实例例试用积分因子法求可分离变量方程的通解解方程的对称形式为易知存在与有关的积分因子,且故当时,方程,也就是相应与的恰当方程为两边积分,得为任意常数这就是方程的通解例试求齐次方程,的积分因子解当,时,方程,后改写为,方程的对称形式为方法直接利用例的结果令,则,代入,得,得将与加以比较即知的积分因子为于是,方程的积分因子为或者其中方法直接利用给定形式的积分因子公式由方程的形式特点易推知具有给定形式的积分因子,,且由公式及,有于是,方程的积分因子为,在这里,我们用上述两种方法求出齐次方程的两个不同的积分因子或,据此我们可顺便求出方程的通解,看它们是否亦不同由方法知方程的积分因子为,故方程相应于的恰当方程为两边积分,得为不等于零的常数故再由方程即知方程的通解为为任意常数其中由方法知方程的积分因子为,故方程相应于的恰当方程为即两边积分,得为任意常数于是,方程的通解为为任意常数由此易知由方程的两个不同积分因子求得的通解是完全相同的例试用积分因子法解线性方程解方程的对称形式是显然,方程存在只与有关的积分因子,且于是,方程相应于的恰当方程为,分别组合,得,两边积分,得为任意常数,故方程的通解为这与前面用常数变易法所求出的结果完全样利用本题的结果以及例与例求积分因子的方法容易求得贝努利方程,的积分因子为,从而相应的恰当方程为,即两边积分,得,故方程的通解为注意成立的条件,最后得到方程的通解为且这与前面所求出的结果亦完全样到此为止,我们可以说凡是可分离变量方程和可分化为可分离变量方程,线性方程和可化为线性方程的方程,都可用积分因子法去求解因此积分因子法是求解阶方程的较为般的方法,只是有时并不定简捷由此,我们通常把分离变量法和积分因子法作为求解阶方程的基本方法较复杂方程的积分因子对于般形如的个较复杂的方程,往往不容易直接求得它的积分因子,但若能将它的左端分成几组,比如分成如下两组后,可分别求得这两组的积分因子和以及相应的恰当函数和则借助于,,常可求得整个方程的积分因子事实上,对于任意非零连续函数和,和都分别是方程的第组和第组的积分因子,由于,使则既是的第组的积分因子,又是的第组的积分因子,因而也就是整个方程的积分因子般来说,我们有这样的结果定理如果方程有积分因子,和相应的原函数即,则,也是方程的个积分因子,其中是任意个可微的非零函数证明由假设知,其中是的个原函数假设方程左端可以分成两组其中第组和第组各有积分因子和及相应的原函数和有定理,对任意可微函数这两个组可以分别有积分因子和为了找出两组公共的积分因子,我们需要寻求合适的可微函数,使得如果这样的,已经找到,那么就是原方程的积分因子运用找积分因子进而求解方程的方法,通常称为分组积分因子法下面我们举例说明求解方程的分组积分因子法求解实例例试用分组积分因子法求解方程解将方程的左端分组为两组后的等价方程为显然,第组的积分因子为,,且相应的恰当函数为,,而第组的积分因子为,相应的恰当函数为,,于是,若选取,则,若再选取,则,故当时,原方程的积分因子为,,方程相应于,的恰当方程为,即,两边积分,得为任意常数,当时,方程仍成立故亦是方程的解于是,综上所述即知原方程的通解为为任意常数由上述讨论及本例可知般来说,运用分组积分因子法求解较复杂的对称方程时,有两个问题应注意全力解决其,关键在于将较复杂的对称形式的方程进行适当分组,使各组的积分因子与相应的恰当函数易于求出其,重难点在于适当选取和,使显然,在实际运用分组积分因子法求解较复杂的对称形式的方程时,上述需要注意全力解决的第个重要问题也是可以设法避免的,其作法是首先在分组后的各组中,选取组,求出这组的积分因子,及相应的恰当函数,然后从和出发,注意观察其他各组项的特点,最后再适当选取的非零连续函数,使成为整个原方程的积分因子例如,本题可如下解之首先,容易看出第组的积分因子,,相应的恰当函数为于是,方程可改写为其次,注意