1、“.....我们可把条件看作隐函数，满足隐函数定理条件，并把目标函数看作与，的复合函数这样，就可应用极值充分条件来做出判断为此计算如下，，，，当时，由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点这样就有不等式，令，则，代入不等式有或利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理如果函数及在闭区间，内连续，在开区间，内可导，且在，内的每点均不为零，那么在，内至少有点，使得等式成立例设，证明证明设，则，对于，在，上应用柯西中值定理有，设又因为显然当时即从而，即故注意对于在，内，则有......”。

2、“.....通过泰勒展开式可以用我们熟悉的多项式近似的表达函数泰勒定理设在闭区间，上连续，在开区间，上存在，则对任何，至少存在点，使得,例证明不等式当时，证明利用泰勒展开式可得出在点的泰勒展开式为所以，显然，另，又因为即泰勒定理的适用范围所证明的不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式，从而利用它的局部展开式证明不等式利用函数的凸凹性证明不等式定义设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数，总有则称为上的凸函数反之，如果总有则称为上的凹函数判别定理设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸凹函数的充要条件是，例证明对任意实数有证明设，，所以......”。

3、“.....所以得到即应用范围般适合用题中含有模式的式子利用积分定义与性质证明不等式利用积分定义证明不等式由定积分积分的定义知若函数在，上可积，则有例存在正常数，有，有证明设，则存在正常数有又由积分定义有即利用积分性质证明不等式积分不等式性若与为，上的两个可积函数，且，则有例证明不等式钱吉林数学分析题解精粹崇文书局，谢辞在论文的准备和写作过程中，笔者得到了陆万顺老师的悉心指导和热情帮助，特别是他敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇深同时，我也要感谢我的其他老师和同学们，是他们给予我的帮助让我走过大学的风风雨雨，在那些最艰苦的日子里是他们激励我鼓励我，让我奋发图强我也将以更多的努力来回报他们，我相信我会做得更好,证明由于在，上，......”。

4、“.....即利用积分中值定理证明不等式积分第中值定理若在，上连续，则至少存在点使得推广的积分第中值定理若与都在，上连续，且在，上不变号，则至少存在点使得例证明证明利用推广的积分第中值定理知存在使又因为所以，所以即利用著名不等式证明利用均值不等式设，是个正实数，则，当且仅当时取等号例证明柯西不等式证明要证柯西不等式成立，只要证令式中则即即下面证不等式，有均值不等式，，即，同理，，将以上各式相加，得根据，式即因此不等式成立，于是柯西不等式得证利用柯西不等式例设，......”。

5、“.....为正常数，，，求证证明即利用詹森不等式例证明不等式，其中均为正数证明设，由的阶和二阶导数，可见，在时为严格凸函数依詹森不等式有，从而，即又因，所以总结不等式在数学的整个学习研究过程中都是个非常重要的内容，它涉及了初等数学高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外专家及学者的长期不懈努力，不等式证明已经取得了丰硕的成果......”。

6、“.....由此可见给出个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义因此，本文对不等式的些重要证明方法进行了系统的总结，并精选典型的例题来说明其证明方法，以便使大家对其证明有更好的理解同时密切联系实际，应用不等式解决实际中的简单问题，以此来更进步说明不等式的重要性参考文献孟金涛浅谈不等式证明的若干方法科技信息余志英不等式的证明方法科学咨询雷小平证明不等式的常用方法太原科技栗凤娟证明不等式的几种方法科教文汇梁惠浅谈不等式证明的方法中国新技术新产品李丽颖不等式证明的常用方法今日科苑闫峰不等式在微分学中的几种证明方法邯郸师专学报彭军不等式证明的方法探索襄樊职业技术学院学报裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社，利用詹森不等式总结参考文献谢辞引言在数学的学习过程中，不等式证明是个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都具有很重要地位在数量关系上......”。

7、“.....但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多直到世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的个重要组成部分在研究数学不等式的过程中，许多内容都十分有用，如不等式的性质不等式的证明方法和不等式的解法在本文中，我们就不说明了，而主要的总结证明不等式的方法及运用每种方法的技巧和注意事项利用常用方法证明不等式分析法对于证明个不等式，我们可以从已知条件或其它有关定理出发，然后根据不等式的性质逐步推证所求不等式成立若从已知条件或所学结论很难证明不等式是否成立，我们可以从要证的不等式出发，探索证明的途径，根据不等式的性质推出要证不等式成立的充分条件，然后根据所学知识判断充分条件是否成立例已知都大于零，证明证明由均值不等式定理知即知例证明要证，即证展开得即证......”。

8、“.....分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证例已知，，求证证明因为，，所以，由柯西不等式，所以原不等式获证放缩法在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去些正项或负项而使不等式的各项之和变小或变大，或把和或积里的各项换以较大或较小的数，或在分式中扩大或缩小分式中的分子或分母，从而达到证明的目的值得注意的是放缩得当，不要过头常用方法为改变分子分母放缩法拆补放缩法编组放缩法寻找中介量放缩法例求证证明令，则，所以换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化例已知，求证证明设，，则......”。

9、“.....所以三角代换法借助三角变换，在证题中可使些问题变易例已知，，求证证明设，则设，则所以判别式法通过构造元二次方程，利用关于变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式例设且，求证证明设，则代入中得把条件进行适当的换元和代换或根据不等式的结构构造种模型函数恒等式不等式复数等，简化不等式，达到简洁的证明过程构造复数若证明的结论为几个根式相加的和与个常数比较大小，每个根式中的自变量都样且为和的形式，这时我们可以用构造复数或在坐标轴中构造图形的方法来证明例证明证明左边可以看成几个复数模的和设......”。