第章平面向量平面向量数量积的物理背景及其含义自主预习学案互动探究学案课时作业学案自主预习学案第章平面向量如果个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功可用下式计算,其中是和的夹角那么在数学中如何定义这种向量的乘积呢物理中功的算法平面向⊥时当与夹角为时,第章平面向量命题方向⇨向量的投影典例如图所示,在中,是边的中点,求在方向上的投影在第章平面向量规律总结求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时,需明确两个关键点相关向量的模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法,正确的在后面的括号内打,错误的打若,则与至少有个为零向量若,则与的夹角为锐角若,则对于任意向量,都有个向量在另个向量方向上的投影是个向量第章平面向量若,的夹角为,则解析平面向量数量积的物理背景及其含义精选页.的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算从而保证计算结果准确无误利用向量的数量积判断几何图形的形状典例在中且,试判断的形状思路分析易知,分别将移算,这种运算涉及长度角度,因此有如下条运算律已知向量和实数,则交换律数乘结合律分配律第章平面向量知识点拨在实数运算中,若,则与中至少有个为但是在向量数量积的运算中,不能由推出或事实上,当,又,即与的夹角为第章平面向量规律总结利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法或向量夹角公式积的定义,有⊥⇔当与同向时,当与反向时,特别地,或,当且仅当向量,共线,即时,等号成立,其中是非零向量与的夹角第章平面向量知识点拨数量积的性质及其应用性质可用于解决与两个非零为数量,不再是向量向量数量积的正负由两个向量的夹角决定当是锐角时,数量积为正当是钝角时,数量积为负当是直角时,数量积等于零第章平面向量投影的概念向量在的方向上的投影为向量在的方向上的投影为数量积的几何意义数量积等于的长度与的乘积量垂直有关的问题性质表明当两个向量相等时,这两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的模性质可以解决有关向量不等式的问题性质的实质是平面向量数量积的逆用,可用于求两向量的夹角,也称为夹角公式第章平面向量平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的种第章平面向量平面向量数量积的物理背景及其含义自主预习学案互动探究学案课时作业学案自主预习学案第章平面向量如果个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功可用下式计算,其中是和的夹角那么在数学中如何定义这种向量的乘积呢物理中功的算法平面向模的问题,是数量积的重要应用,解决此类问题的方法是对向量进行平方,即利用公式,从而达到将向量转化为实数的目的若,则在方向上的投影与在方向上的投影必相等解析设与的夹角为,与的夹角为,则,因为,所以,即同理可得,故,即是等边角形第章平面向量规律总结依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状,关键是由已知条件建立数量积向量的长度向量的夹角等之间关系,时,由不能推出定是零向量,这是因为对任与垂直的非零向量,都有实际上,由可推出以下种结论,,,但⊥已知实数,则⇒但对向量的数量积,该推理不正确,即⇒判断下列说法是否正量垂直有关的问题性质表明当两个向量相等时,这两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的模性质可以解决有关向量不等式的问题性质的实质是平面向量数量积的逆用,可用于求两向量的夹角,也称为夹角公式第章平面向量平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的种的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算从而保证计算结果准确无误利用向量的数量积判断几何图形的形状典例在中且,试判断的形状思路分析易知,分别将移涉及的所有量,代入公式求解即可第章平面向量解析,又第章平面向量又,设与的夹角为,则平面向量数量积的物理背景及其含义精选页.,即,故选第章平面向量下列命题正确的是⇔⇔解析选项是分配律,正确,不正确课时作业学案第章平面向量新课标导学数学必修人教版平面向量数量积的物理背景及其含义精选页的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算从而保证计算结果准确无误利用向量的数量积判断几何图形的形状典例在中且,试判断的形状思路分析易知,分别将移第章平面向量错因分析该解法错误地类比实数运算中的法则,实际上思路分析直接利用完全平方和差公式正解由题意,得,第章平面向量误区警示利用数量积求的夹角为在方向上的投影是在方向上的投影是第章平面向量规律总结注意区分在方向上投影的数量,与在方向上的投影的数量项两边平方是常用手段,这样可以出现数量积及向量的长度等信息,为说明边相等边垂直指明方向已知与的夹角为,求及的值混淆向量的模与实数的运算典例错解由题意,得量垂直有关的问题性质表明当两个向量相等时,这两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的模性质可以解决有关向量不等式的问题性质的实质是平面向量数量积的逆用,可用于求两向量的夹角,也称为夹角公式第章平面向量平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的种等号右边,得到个等式,分别平方可得,选取两个等式相减即可得到中两个向量的长度之间的关系第章平面向量解析在中,易知,即,因此从而,,两式相减可,又,即与的夹角为第章平面向量规律总结利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法或向量夹角公式向量的数量积的定义定义已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积或内积,其中是与的夹角记法记作,即第章平面向量知识点拨规定零向量与任向量的数量积为零关于平面向量数量积的说明是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成数量积的结,两者之间的差异第章平面向量命题方向⇨利用向量的数量积解决有关模夹角问题典例已知,向量夹角,求已知,是两个非零向量,且,求与的夹角思路分析先求,再用与的联系求解根据题中所给等式求出向量与的夹角公式平面向量数量积的物理背景及其含义精选页.的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算从而保证计算结果准确无误利用向量的数量积判断几何图形的形状典例在中且,试判断的形状思路分析易知,分别将移方向上的投影思路分析首先结合图形求出与的夹角,然后利用定义求解投影第章平面向量解析如图所示,连接,因为,,所以是等腰直角角形又是边的中点,所以⊥,,所以延长到,则与,又,即与的夹角为第章平面向量规律总结利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法或向量夹角公式相关公式进行化简第章平面向量跟踪练习已知当⊥与的夹角为时,分别求与的数量积解析,若与同向,则,若与反向,则,互动探究学案第章平面向量已知与的夹角为,试求思路分析根据数量积模夹角的定义,逐进行计算即可命题方向⇨平面向量的数量积典例第章平面向量解析时,由不能推出定是零向量,这是因为对任与垂直的非零向量,都有实际上,由可推出以下种结论,,,但⊥已知实数,则⇒但对向量的数量积,该推理不正确,即⇒判断下列说法是否正量垂直有关的问题性质表明当两个向量相等时,这两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的模性质可以解决有关向量不等式的问题性质的实质是平面向量数量积的逆用,可用于求两向量的夹角,也称为夹角公式第章平面向量平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的种的方向上的投影第章平面向量知识点拨关于投影的说明向量在向量方向上的投影与向量在向量方向上的投影是不同的向量在向量方向上的投影向量在向量方向上的投影第章平面向量平面向量数量积的性质设,是两个非零向量,则由向量数第章平面向量规律总结求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时,需明确两个关键点相关向量的模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法向量的数量积的定义定义已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积或内积,其中是与的夹角记法记作,即第章平面向量知识点拨规定零向量与任向量的数量积为零关于平面向量数量积的说明是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成数量积的结