稳定点。并且在二维有界区域上的最大值和最小值时，也要考虑无穷多个边界点。元函数与多元函数不仅在极值点的范围上有差异，多元函数在元函数的极值点处也不定取得极值，我们以二元函数为例定理若二元函数,在点,处取得极值，则元函数,及,在点,处取得极值，但反之不定成立如,元函数,与,都在点,处取得极小值，且,，,，但,在点,处不能取得极小值因为在上，在点的去心邻域内,，说明在两个方向上，二元函数,在点,处都不能取极小值同理说明,在点,处不定取得极大值以上说明了元函数在点,处取得极值，但二元函数在该点不定取得极值，因此，二元函数的极值不能用元函数的极值来判定广东石油化工学院本科学年论文五积分与广义积分关于定积分与重积分在定积分的计算中，分割对象是有限区间，分割方式只有种，即在区间内任意插入有限个分点，分割的任意性只体现在这些分点的自由选择上但在二重积分的定义中，分割对象是平面上的有界闭区域，分割方式多种多样，千变万化，从理论上讲甚至有无穷多种如直角坐标网分割，极坐标网分割，以及任意曲线坐标网分割等因此给重积分的计算方法和技巧带来多样化这是二者的又差异元函数与多元函数的积分换元公式上也有差异，我们比较重积分与定积分的换元公式比较以上二式，定积分换元公式中，无绝对值，而在二重积分换元公式中带有绝对值原因在于定积分是在有向线段,上取的，而二重积分是在无向区域上取的，因而要加绝对值在广义积分上的差异元函数与多元函数的积分性质有许多相似，但元函数与多元函数的广义积分却存在显著差别元函数的收敛性并不蕴含其绝对收敛性，反之，对多元函数则不然多于函数的广义积分的收敛性本身蕴含其绝对收敛性，也就是说多元函数的广义积分收敛性与其绝对收敛性等价函数的极限第页共页结论空间结构发生变化从元到多元，函数的变化范围由维空间扩展到维空间，发生了空间结构变化，使研究的问题更加复杂化，研究方法更加多样化，思维方式更加灵活通过对比学习，掌握元函数的基本知识，在通过比较深入认识，就可以更加行之有效的了解并掌握二元及元函数的知识。由元函数的引申，使得元函数形式更加简单，更容易理解。多元函数中的概念有些是用多元法给出的，如极限，连续，可微等，有些是用单法给出的，如偏导数，驻点等而在元函数的研究中，只有个自变量，所以没有单法与多元法之分，其概念也都是同类这恰恰使得元函数中概念间的关系，在多元函数中有些会发生质的变化，即出现新问题参考文献解永跃二元函数极值点与元函数的关系上海电机技术高等专科学校学报,数学分析第四版上册华南师范大学数学系编高等教育出版社出版数学分析第四版下册华南师范大学数学系编高等教育出版社出版唐善刚元函数与多元函数在广义积分上的差异伊犁师范学院学报,王凯二元函数的可微性与元函数可微性的关系岳阳师范学院学报,广东石油化工学院本科学年论文,就有ε般来说，对于上不同的点，相应的正数是不同的。换句话说，的取值依赖于之外，还与有关，由此，我们写ε，以表示与ε和的依赖关系。如果能够做到只与ε有关，而与无关，或者说存在适合与上所有点的公共的，即ε，那么函数就不仅在上连续，而是致连续了。二元函数的连续性定义设为定义在含于上的二元函数它或者是的聚点，或者是孤立点，对任给的正数ε，总存在相应的正数，只要∈∩,就有ε则称关于集合在连续。在不误解的情况下，也称在点连续。若在上任何点都关于集合连续，则称为上的连续函数。又上述定义可知若是的孤立点，则必定是关于上的连续点。若是的聚点，则关于在连续等价于函数的极限第页共页,如果是的聚点，上面的极限式子不成立其含义与元函数的对应情形相同，则称是在的不连续点或称间断点，特别，当式子左边的极限存在但是不等于时，是的可去间断点。下面给出个例子说明。例其中为固定的实数亦即函数只定义在直线上，由于因此在原点沿着直线是连续的。本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质这可以看作闭区间上元连续函数性质的推广由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的这样，元函数在点处连续的表达式，就可以换成多元函数在点处的表达式点和点为多维空间的点，从而就使得元函数在点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即连续有极限的关系在多元函数中依成立。上，这时由于广东石油化工学院本科学年论文三关于微分可微可导的关系在多元函数中仍然成立。在多元函数中，由于可微这概念是用多元法给出的，,在点,处可微，即有其中成立再由偏导数的定义，我们有如下定理定理可微的必要条件若二元函数在其定义域内点,处可微则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且,由上述定理我们很容易发现，可微可导的关系在多元函数中也成立。二者可，其中现只需证明事实上，显然，而,在,可微上述定理我们可以看出，在定条件下，元函数与二元函数的可微性是统的接下来我们把定理推广到元函数定理元函数,，对,，,，在可微，,对，在可微,对,，在可微，,在可微在,连续，则元函数,在,可微在特定的的条件下，我们就把元函数与多元函数的可微性统了可导与可微的关系广东石油化工学院本科学年论文在元函数微分学中关于可微和可导之间的关系有如下定理定理函数在点可微的充要条件是函数在点可导但是在多元函数微分学中有,在点,处可微,及,存在反之，,及,存在却不能推出,在点,处可微四极值与最值问题在求元可微函数在,上的最大值和最小值时，只考虑两个端点和几个极值点即可即若在,内有稳定点，则函数的极限第页共页,,但是求二元函数的极值，若在点,取得极值，则当固定时，元函数,必定在性之间的关系多元函数微分学中很重要的个内容，就是弄清多元函数与元函数在极限，连续，微分等问题上的关系关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过现在，我们讨论元函数可微性与多元函数可微性之间的关系下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去。定理元函数,，对个，在可微,对，在可微，元函数,在可微,在可微且,或,在,连续，则二元函数,在,可微。证明不妨设,在,连续而对，,在可微则有,，可改记为，则,又,在可微，同理,而,在连续，故在连续。则，其中，其中现只需证明函数的极限第页共页事实上，显然，,在,可微而，若，则，当时，若，则。推论极限的保号性设，若，当时，若。定理存在极限的函数局部有界性设存在极限，则在函数的极限第页共页的空心领域,内有界，即，，使得时，。注其它极限过程如，，，等等也有类似的结论。两个重要极限，，，。极限存在性的判别极限存在的两个准则夹逼定理定理数列情形若，当时，，且有，则。定理函数情形设，时，，又，则。单调有界数列必收敛定理定理若数列单调上升有上界，即,并存在个数，使得对切的有，则收敛，即存在个数，使得，且有。若数列单调下降有下界，即,并存在个数，使得对切的有，则收敛，即存在个数，使得，且有。二元函数的定义定义设函数,在,内有定义是,内的任意点，如果存在个确定的常数，点,以任何方式趋向于定点,广东石油化工学院本科学年论文时，函数,都无限地趋近于，则称常数为函数。当或，时的极限，记为,或,或,二元函数的性质在性质上与元函数大致类似，我们通过了解元函数进而掌握二元函数的性质，但是同时二元函数在此也扩充了