四条边的整点个数为,,所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，且数对应点的坐标为,，于是数对应点的坐标为,，而，故对应点的坐标为,因为长方形的边长为和，所以长方形的周长为因为物体乙的速度是物体甲的倍，故相同时间内，物体甲与物体乙行的路程比为因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇，此时相遇地点的坐标为,因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇此时相遇地点的坐标为,因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在点相遇此时甲乙回到出发点因为除以的商为，余数为，所以甲乙两个物体运动后的第次相遇的地点与第次相遇的地点相同，此时相遇地点的坐标为,，，∥，∥连接，设,则依题意有,，，，,存在，依题意有，∥，则，，或，，，或，，四边形或四边形如图，过点作⊥轴于点因为的面积等于的面积，所以，即，解得所以的面积的面积，的面积的面积，则，即，所以点的坐标是,点,，,的对应点分别为,，,，解得由题意可得设点的坐标为，解得点的坐标为,白,黑白,中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的半，棋子马走的规则是沿日形的对角线走例如图中马所在的位置可以直接走到点处如果帅位于点相位于点则马所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为若马的位置在点，为了到达点，请按马走的规则，在图中画出种你认为合理的行走路线，并用坐标表示在平面直角坐标系中，蚂蚁从原点出发，按向上向右向下向右的方向依次不断移动，每次移动个单位其行走路线如图所示填写下列各点的坐标，写出点的坐标是正整数指出蚂蚁从点到点的移动方向思维方法天地在平面直角坐标系中，横坐标纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中的正方形每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形四条边上的整点共有个马相帅汉界楚河如图，正方形在坐标系中的位置如图，将正方形绕点顺时针旋转后，点的坐标为如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着个坐标如的对应点是原点的对应点是的对应点是,，那么的对应点的坐标是若关于的方程组的解为坐标的点,在第二象限，则符合条件的实数的范围是在平面直角坐标系中，对于平面内任点若规定以下三种变换如如示的数是，则点表示的数是已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作把每个点的横纵坐标都乘以同个实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位,，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，已知正方形内部的个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标图图平面直角坐标系问题解决例,,,,例弄清粒子的运动规律，先观察横坐标与纵坐标的相同的点粒子运动了分钟粒子运动了分钟，将向左运动,粒子运动了分钟，将向下运动粒子运动了分钟，将向左运动，,粒子运动了分钟，将向下运动于是将有,点处粒子运动了分钟，这时粒子将向下运动，从而在运动了分钟后，粒子所在位置是故选例点与点重合，个点构成个循环，,，,，点与点坐标相同，为,例四边形当点在轴上，设则，由，得或，,当点在轴上，延长交轴于点，过作⊥轴于，设，，梯形又梯形，解得设当点在点上方时，，，解得当点在点下方时，，，解得，综上,,如按照以上变换有,，那么，,等于,,,,设平面直角坐标系的轴以作为长度单位，的顶点坐标为其中，若该三角形的面积为，则的值是如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙由点,同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，求两个物体开始运动后的第次相遇地点的坐标在平面直角坐标系中，如图，将线段平移至线段，连接直接写出图中相等的线段平行的线段已知,,，点在轴的正半轴上点在第象限内，且，求点的坐标如图，在平面直角坐标系中，已知定点，两个动点,,，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段若存在，求以点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由应用探究乐园如图，是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点点的坐标分别为若点在梯形内，且，，求点的坐标图图操作与研究对数轴上的点进行如下操作先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，如图，若点表示的数是，则点表示的数是若点表基础上，探寻点的坐标变化规律例如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为,求此四边形的面积在坐标轴上，你能否找到点，使若能，求出点坐标若不能，请说明理由试试对于，通过作辅助线把四边形表示为常规图形面积的和差对于，因点位置不确定，故需分类讨论例如图，已知是个长方形，其中顶点的坐标分别为,和点在上，且，点在上，且点在上，且使的面积为，的面积为，试求的值解设点坐标为，长方形，，即同理，由长方形，得，即解由联立的方程组得图图,棋盘上的数学例下象