，抛物线的解析式为点与点关于对称，连接与交于点，则点即为所求，根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，与轴的交点为设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，则直线与的交点坐标为，点的交点坐标为，点评根据不同条件，选择不同设法若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为般式，将已知条件代入，列方程组，求出的值若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式，将已知条件代入，求出待定系数若已知抛物线与轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式，再将另条件代入，可求出值对应训练杭州设抛物线过三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的函数解析式为或解析点在直线上，且到抛物线的对称轴的距离等于，抛物线的对称轴为直线或，当对称轴为直线时，设抛物线解析式为，则解得所以，当对称轴为直线时，设抛物线解析式为，则解得所以，综上所述，抛物线的函数解析式为或故答案为或无锡次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于，两点其中点在点的左侧，与这个二次函数图象的对称轴交于点求点的坐标设二次函数图象的顶点为若点与点关于轴对称，且的面积等于，求此二次函数的关系式解，二次函数图象的对称轴为直线，当时故点，点与点关于轴对称设由得，解得由，得其中正确结论的个数是泰州已知二次函数的图象经过点对称轴是经过，且平行于轴的直线求，的值如图，次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另点，点在点的右侧，∶∶，求次函数的表达式解对称轴是经过，且平行于轴的直线二次函数的图象经过点，得出二次函数为，作⊥轴于，⊥轴于，则，∶∶，的纵坐标为，代入二次函数为得解得，舍去，解得次函数的表达式为结合几何图形的函数综合题例深圳如图，关于的二次函数经过点点点为二次函数的顶点，为二次函数的对称轴，在轴上求抛物线的解析式上是否存在点到的距离与到轴的距离相等若存在求出点，若不存在请说明理由解二次函数经过点点解得抛物线的解析式存在，当在的平分线上时，如图，作⊥，设则，点坐标为当在的外角平分线上时，如图，作⊥，设则，点坐标为综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，点评本题主要涉及待定系数法角平分线的性质三角函数三角形面积等知识点在中注意分点在的角平分线上和在外角的平分线上两种情况对应训练甘南州如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过，三点，且求，的值在抛物线上求点，使得四边形是以为对角线的菱形在抛物线上是否存在点，使得四边形是以为对角线的菱形若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形若不存在，请说明理由解抛物线，经过点又由题意可知是方程的两个根由已知得又解得，当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上，又，抛物线的顶点，即为所求的点四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为根据菱形的性质，点必是直线与抛物线的交点，当时在抛物线上存在点使得四边形为菱形四边形不能成为正方形，因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是但这点不在抛物线上第讲二次函数的图象和性质定义形如函数其中是常数，且叫做二次函数利用配方，可以把二次函数表示成图象与性质图象的平移二次函数的三种解析式般式是常数，交点式是常数，顶点式是常数，三种解析式之间的关系顶点式配方般式因式分解交点式抛物线的顶点常见的三种变动方式两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，的符号相反两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，的符号不变开口反向或旋转，此时顶点坐标不变，只是的符号相反二次函数与二次方程间的关系已知二次函数的函数值为，求自变量的值，就是解元二次方程反过来，解元二次方程，就是把二次函数的函数值看作，求自变量的值二次函数与二次不等式间的关系“元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“，或，”，从图象上看是指抛物线在轴上方或轴下方的情况河南在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是兰州在下列二次函数中，其图象对称轴为的是河池将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，抛物线的解析式为泰安在同坐标系中，次函数与二次函数的图象可能是遂宁二次函数的图象如图所示，下列结论，其中正确的个数是待定系数法确定二次函数的解析式例黑龙江如图，抛物线交轴于点交轴于点，对称轴是求抛物线的解析式点是抛物线对称轴上的个动点，是否存在点，使的周长最小若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由解由题意得，解得，抛物线的解析式为点与点关于对称，连接与交于点，则点即为所求，根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，与轴的交点为设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，则直线与的交点坐标为，点的交点坐标为，点评根据不同条件，选择不同设法若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为般式，将已知条件代入，列方程组，求出的值若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式，将已知条件代入，求出待定系数若已知抛物线与轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式，再将另条件代入，可求出值对应训练杭州设抛物线过三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的函数解析式为或解析点