明三个向量不共面,通常用反证法结合共面向量来证明具体解题时,可取空间不共面的四点,将其中之作为起点与其他各点相连即可得到空间的个基底典型例题已知是空间的个基底,且𝑂𝐴𝑂𝐶,试判断𝑂𝐴𝑂𝐶能否作为空间的个基底若能,试以此基底表示向量𝑂𝐷若不能,请说明理由思路分析判断𝑂𝐴𝑂𝐶能否作为空间的个基底,关键是判断𝑂𝐴𝑂𝐶是否共面,解决此题可利用反证法解假设𝑂𝐴𝑂𝐶共面,由向量共面的充要条件知存在实数使𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶成立,是空间的个基底,不共面此方程组无解,即不存在实数,使𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶,𝑂𝐴𝑂𝐶不共面故𝑂𝐴𝑂𝐶能作为空间的个基底设𝑂𝐷𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶𝐴,试用基底表示向量𝐶错解𝐶𝐴−𝐴𝐶𝐴𝐴𝑀𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝑀错因分析错解中𝐴𝑀仍可用基底表示,向量的分解不彻底基底可以表示空间内任向量,用基底表示向量时,最后结果应只含基向量正解𝐶𝐴−𝐴𝐶𝐴𝐴𝑀𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴−𝐴𝐵𝐴𝐷设,且是空间的个基底,给出下列向量组,其中可以作为空间的基底的向量组有个个个个解析如图所示,设𝐴𝐵𝐴𝐷,则𝐴𝐵𝐴𝐶由,四点不共面,可知向量也不共面同理可知和也不共面所以可作为空间的基底的向量组有,共个答案在空间四边形中𝑂𝐵点在上,且,为的中点,则𝑀𝑁等于解析𝑀𝑁𝑀𝐴𝐴𝑁𝑂𝐴𝑂𝑁−𝑂𝐴𝑂𝐴−𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶答案在平行六面体中,设𝐴𝐶𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶,则等于解析在平行六面体中故答案已知矩形,为平面外点,且⊥平面分别为,上的点,且则满足的实数的值分别为解析如图所示,取的中点,连接则−由题意,易知,−−,−−,所以−−−所以答案如图所示,在平行六面体中分别在和上,且,求证,四点共面若,求解证明四点共面−−−空间向量基本定理课程目标学习脉络了解空间向量基本定理及其意义,会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量使学生体会从平面到空间的过程,进步培养学生对空间图形的想象能力空间向量基本定理如果向量是空间三个不共面的向量,是空间任向量,那么存在唯组实数,使得空间中不共面的三个向量叫作这个空间的个基底表示向量关于基底的分解特别地,当向量两两垂直时,就得到这个向量的个正交分解当时,就是标准正交分解思考如何正确理解空间向量基本定理提示空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的已知向量可以线性表示出空间任意个向量,而且表示的结果是唯的空间任意三个不共面的向量皆可构成空间向量的个基底,因此,基底有无数个,所以基底的选择范围很广,但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底由于可视为与任意个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是三个向量构成空间的个基底的充要条件是不共面因此,要证明三个向量不共面,通常用反证法结合共面向量来证明具体解题时,可取空间不共面的四点,将其中之作为起点与其他各点相连即可得到空间的个基底典型例题已知是空间的个基底,且𝑂𝐴𝑂𝐶,试判断𝑂𝐴𝑂𝐶能否作为空间的个基底若能,试以此基底表示向量𝑂𝐷若不能,请说明理由思路分析判断𝑂𝐴𝑂𝐶能否作为空间的个基底,关键是判断𝑂𝐴𝑂𝐶是否共面,解决此题可利用反证法解假设𝑂𝐴𝑂𝐶共面,由向量共面的充要条件知存在实数使𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶成立,是空间的个基底,不共面此方程组无解,即不存在实数,使𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶,𝑂𝐴𝑂𝐶不共面故𝑂𝐴𝑂𝐶能作为空间的个基底设𝑂𝐷𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶,则有,为空间的个基底解之,得𝑝𝑧,𝑂𝐷𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证