或已知直线与的方向向量分别为与间的夹角为,先用向量夹角公式求出􀎮,􀎮或􀎮再根据直线间的夹角的范围判断􀎮,􀎮还是􀎮最后得出结论典型例题如图所示,在棱长为的正方体中,求异面直线和的夹角思路分析利用𝐵𝐴𝐴𝐶𝐵𝐴𝐴𝐶􀎮𝐵𝐴求出向量𝐵𝐴与𝐴𝐶的夹角􀎮𝐵𝐴再根据异面直线的夹角的范围确定异面直线,的夹角解法𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵𝐶⊥,⊥,⊥𝐵𝐶𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐵𝐴𝐶又􀎮𝐵𝐴𝐴𝐶􀎮,异面直线和的夹角为解法二以为原点,所在的直线为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系,则􀎮𝐵𝐴𝑎􀎮𝐵𝐴,𝐴𝐶􀎮异面直线和的夹角为点评求异面直线的夹角,用向量法比较简单,若用基向量求解,则必须选好空间的组基向量,若用坐标系求解,定要将每个点的坐标写正确典型例题在四棱锥中,⊥平面,与平面的夹角为,在四边形中,求异面直线与夹角的余弦值解以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系由⊥平面知,是与平面的夹角,在中,由,得于是𝑃𝐴𝑃𝐴点混淆二面角与平面间的夹角而致误典型例题已知四边形为矩形,⊥平面设求二面角的余弦值错解建立如图所示的空间直角坐标系,则𝐵𝐶𝐶𝐷,设平面,平面的法向量分别为则有𝑛和𝑛即𝑎𝑦,𝑎𝑥𝑧和𝑎𝑥,𝑎𝑦𝑧令,则,令,则,所以􀎮𝑛𝑛𝑛故二面角的余弦值为错因分析二面角的取值范围是平面间的夹角的取值范围是错解中将两角相混淆,忽略了二面角既可能是锐角直角也可能是钝角,应仔细观察图形,避免出错正解由错解得𝑛𝑛𝑛𝑛观察图形知二面角为钝角,所以二面角的余弦值为在长方体中,已知分别是线段,上的点,且,则直线与夹角的余弦值是解析如图,以为原点,的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系,则,所以所以故异面直线与夹角的余弦值为答案在三棱柱中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面夹角的大小是𝜋𝜋𝜋𝜋解析如图,取的中点,连接,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得⊥平面,故为与平面的夹角设各棱长为,则所以,所以𝜋,故选答案在底面是直角梯形的四棱锥中,,⊥平面,则平面和平面夹角的余弦值是解析建立如图所示的空间直角坐标系,则平面的个法向量是设是平面的法向量,则⊥𝐷𝐶,⊥𝐷𝑆即𝐷𝐶𝐷𝑆又𝐷𝐶,且,令,得𝑛故平面和平面的夹角的余弦值为答案已知⊥平面,⊥,求平面与平面夹角的余弦值解如图所示,建立空间直角坐标系,则𝐴𝑃𝐶𝐵,设平面的法向量为,则𝑚𝑦𝑧令,则设平面的法向量为,则𝑛𝑦𝑦𝑧令,则𝑛𝑚𝑛故平面与平面的夹角的余弦值为夹角的计算课程目标学习脉络掌握异面直线的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角的定义,搞清它们各自的取值范围细心体会求空间中角的转化思想数形结合思想,熟练掌握平移射影投影等方法灵活运用向量法与综合法,从不同的角度解决立体几何中角的问题直线间的夹角如图,当两条直线与共面时,我们把两条直线交角中,范围在,内的角叫作两条直线的夹角如图,当直线与是异面直线时,在直线上任取点作,我们把直线和直线的夹角叫作异面直线与的夹角空间直线由点和个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定如下图,已知直线与的方向向量分别为当时,直线与的夹角等于当时,直线与的夹角等于思考如何利用向量知识求异面直线的夹角提示取两异面直线的方向向量,用向量的夹角公式求解解题时,若求出的向量的夹角为钝角,则异面直线的夹角为其补角若求出的向量的夹角为锐角或直角,则可以直接表示异面直线的夹角平面间的夹角平面与相交于直线,点为直线上任意点,过点,在平面上作直线⊥,在平面上作直线⊥,则∩我们把直线和的夹角叫作平面与的夹角若平面和的法向量分别为和,则当𝜋时,平面与的夹角等于􀎮当𝜋时,平面与的夹角等于思考如何利用向量求平面间的夹角提示先求出两个平面的法向量,再利用向量夹角公式求角,则该角或它的补角就等于平面间的夹角般用坐标运算进行,求解后要结合题意来判断求出的角是夹角的补角还是夹角直线与平面的夹角平面外条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角如下图中的角如果条直线与个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为如果条直线与个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角是思考如何利用向量知识求直线与平面的夹角提示取直线的方向向量和平面的法向量,用向量的夹角公式求出这个角,若该角为锐角或直角,则它的余角就是直线与平面的夹角若该角为钝角,则它的补角的余角为直线与平面的夹角直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角或补角的余角应注意到线面角为锐角或直角直线与平面所成角的范围是,向量法可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,关系式或已知直线与的方向向量分别为与间的夹角为,先用向量夹角公式求出􀎮,􀎮或􀎮再根据直线间的夹角的范围判断􀎮,􀎮还是􀎮最后得出结论典型例题如图所示,在棱长为的正方体中,求异面直线和的夹角思路分析利用𝐵𝐴𝐴𝐶𝐵𝐴𝐴𝐶􀎮𝐵𝐴求出向量𝐵𝐴与𝐴𝐶的夹角􀎮𝐵𝐴再根据异面直线的夹角的范围确定异面直线,的夹角解法𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵𝐶⊥,⊥,⊥𝐵𝐶𝐴𝐵𝐵𝐶𝐴𝐵𝐴𝐶又􀎮𝐵𝐴,�