或𝑥𝑚𝑦𝑛,思考怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在坐标轴提示当给出椭圆方程𝑥𝑚𝑦𝑛时,判断方程所表示的椭圆的焦点的位置的方法是若椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大若椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法椭圆方程的形式椭圆的方程形式不仅仅有课本中的这两种,随着在具体问题中的坐标系建立的不同,椭圆的方程形式也会有所不同可以想象,如果将个方程是标准方程的形式的椭圆在坐标系下进行适当的移动以及旋转,相应的椭圆方程就不会再是标准方程形式了只不过课本中的椭圆的标准形式比较简单,有利于研究椭圆所具有的几何性质利用定义求椭圆的轨迹问题要善于挖掘题设条件中隐含的定义要素,达到简化运算的目的利用定义求椭圆的轨迹方程,可避免求轨迹方程常用方法中的复杂运算用定义法求椭圆方程,有时要根据实际意义去掉不符合题意的点椭圆的定义给出了个结论椭圆上的点到两焦点,的距离的和为常数,则已知椭圆上点到焦点的距离就可以利用求出该点到另焦虑不全面而致误典型例题已知椭圆过点,求椭圆的标准方程错解设椭圆的标准方程为𝑥𝑎𝑦𝑏椭圆过点𝑎𝑏又椭圆的标准方程为𝑥错因分析本题没有说明焦点在哪个坐标轴上,应考虑焦点在轴轴上两种情形,而错解中主观地认为焦点在轴上,这是初学者易犯的错误正解若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为𝑥𝑎𝑦𝑏椭圆过点𝑎𝑏又,椭圆的标准方程为𝑥若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为𝑦𝑎𝑥𝑏椭圆过点𝑎𝑏又椭圆的标准方程为𝑦𝑥所求椭圆的标准方程为𝑥或𝑦𝑥椭圆𝑥的两个焦点为过作垂直于轴的直线与椭圆相交,个交点为,则解析可设点坐标为得由椭圆定义知,故得答案椭圆上点到两焦点,的距离之差为,则的形状为直角三角形锐角三角形钝角三角形等边三角形解析由解得,又,故满足,为直角三角形答案中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点,的椭圆的标准方程是解析方法若椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为依题意有解得,又,所以方程组无解若椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为依题意有解得,所以所求椭圆的标准方程为方法设所求椭圆的方程为,且依题意有解得,所以所求椭圆的方程为,其标准方程为答案已知是过椭圆的左焦点的弦,且,其中为椭圆的右焦点,则解析由椭圆定义知,即答案在中,,曲线过点,动点在上运动,且保持的值不变,求曲线的方程解如图,以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系在中又,由椭圆的定义知,动点的轨迹即曲线为椭圆,曲线的方程为第三章圆锥曲线与方程椭圆椭圆及其标准方程课程目标学习脉络了解椭圆的实际背景,理解椭圆焦点焦距的定义掌握推导椭圆标准方程的过程理解参数的几何意义,会求些简单的椭圆的标准方程椭圆的定义我们把平面内到两个定点,的距离之和等于常数大于的点的集合叫作椭圆这两个定点,叫作椭圆的焦点,两个焦点,间的距离叫作椭圆的焦距思考为什么在椭圆的定义中要求其中的常数大于这两个定点之间的距离呢提示这是因为如果其中的常数等于这两个定点间的距离,相应的动点的轨迹就是以这两个定点为端点的线段如果其中的常数小于这两个定点之间的距离,相应的动点的轨迹不存在因此,在利用椭圆的定义来判断相关的动点的轨迹时,要注意其中的常数与这两个定点的距离间的大小关系,否则容易出错椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上用待定系数法求标准方程,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型其次是“定量”,即利用条件确定方程中,的值若不能确定焦点的位置,可分类设出方程或设两种标准方程的统形式统形式,或𝑥𝑚𝑦𝑛,思考怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在坐标轴提示当给出椭圆方程𝑥𝑚𝑦𝑛时,判断方程所表示的椭圆的焦点的位置的方法是若椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大若椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法椭圆方程的形式椭圆的方程形式不仅仅有课本中的这两种,随着在具体问题中的坐标系建立的不同,椭圆的方程形式也会有所不同可以想象,如果将个方程是标准方程的形式的椭圆在坐标系下进行适当的移动以及旋转,相应的椭圆方程就不会再是标准方程形式了只不过课本中的椭圆的标准形式比较简单,有利于研究椭圆所具有的几何性质利用定义求椭圆的轨迹问题要善于挖掘题设条件中隐含的定义要素,达到简化运算的目的利用定义求椭圆的轨迹方程,可避免求轨迹方程常用方法中的复杂运算用定义法求椭圆方程,有时要根据实际意义去掉不符合题意的点椭圆的定义给出了个结论椭圆上的点到两焦点,的距离的和为常数,则已知椭圆上点到焦点的距离就可以利用求出该点到另焦点的距离凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,应首先考虑利用椭圆的定义求解典型例题已知,是两个定点且的周长等于,求顶点的轨迹方程思路分析选取线段的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标系,由,为两定点,为动点,研究是否为定值,并比较与的大小关系,从而判断点的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程解如图所示,建立平面直角坐标