混合运算与实数的运算样满足实数的运算律和运算法则是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据复数问题向实数问题转化的思想和综合运用各种数学知识是解答复数问题的关键利用整体代入整体构造整体变换等整体思想进行求解，往往能获得简捷明快别具格的解法，在解复数问题时，更显突出牢记共轭复数的定义，熟悉共轭复数的相关性质常用知识常用小结论虚数的乘方及其规律，，即具有周期性且最小正周期为设，则的规律为，且也是具有周期性且最小正周期为复数的运算性质设，，则，，有以下性质ⅰⅱⅲ⇔ⅳ非零复数为纯虚数⇔复数模的运算性质ⅰⅱⅲ复数等于答案解析原式答案在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则解析答案设，则等于解析设，则复数为实数的充要条件是答案答案复数解析，复数代数形式的加减运算设，复数若为虚数，求的取值范围分析先求得，再根据复数为虚数判断求出解析因为为虚数，则，，解得，且，且所以的取值范围是，且，且，且点评复数的加减法运算，就是把实部与实部虚部与虚部分别相加减，实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部同时，还要弄清复数的有关概念计算，分析多个复数相加减同两个复数相加减样，只需将各复数的实部虚部分别相加减点评在运算过程中注意把握每个复数的实部和虚部，复数的加减运算类似于初中的合并同类项解析原式原式原式复数的乘法除法运算计算已知，，且，求，的值分析中，可利用复数，当时，中，先进行复数的乘除法运算，然后利用两复数相等的充要条件求，的值解析，所以，所以，点评本题主要考查复数的乘除法运算以及转化的思想方法如本题第问可以去掉分母，转化为乘法运算，也可将每个分母的复数转化为实数，再由复数相等的充要条件，转化为实数方程组，其中化虚为实是种重要的方法解法二由，得，即，所以所以，计算点评将的分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母有理化，进而化简解析共轭复数全国大纲理，设，则的共轭复数为答案解析本题考查了复数的运算以及共轭复数的概念，，所以复数的共轭复数是求解复数的分数运算，现将分母分子乘以分母的共轭复数，将分母实数化山东理，已知，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则解析与互为共轭复数答案复数的共轭复数是解析本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的求法，故的共轭复数为在将复数的分母实数化时，要注意前的系数的正负答案已知复数满足，求解析将方程两边化成的形式，根据复数相等的充要条件来解设，，则，即，由复数相等得解得或或复数的乘方试求的值由推测的值有什么规律，并求的值分析利用的乘方运算寻找的值的规律解析对任意，有点评由上述公式可知，虚数单位的乘方有周期性，最小正周期，利用此周期性可快速解决有关的乘方的计算问题设，求证分析要证明和，须先求出，再由求出证明因为，所以，已知是关于的方程的个根，为实数求，的值试说明也是该方程的个根有关复数方程的问题由知原方程为，把代入方程左边，得，右边，左边右边，显然方程成立，因此也是原方程的个根解析因为是方程的个根，所以，即，所以解得，所以，的值分别为,点评因为已知方程的根是复数根，故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件求解有关复数的方程问题般有两种情况方程的根为复数，系数为实数，已知方程的个复数根，求实系数方程的根为实数，系数为复数，求实根在解方程时，对未知量的系数必须准确判断，才能寻找出正确的解题思路解决关于方程有实根的问题或实系数方程有复数根的问题，即上面提到的，般都是指实根或复数根代入方程，用复数相等的充要条件求解对于实系数元二次方程，当时，方程的根为当时，方程的根为，无论还是，根与系数的关系都成立，即，在解复系数元二次方程时，套用实系数元二次方程根的判别式，这种做法是毫无意义的已知是关于的方程的个根，求实数，的值分析是方程的根，代入方程成立，由复数相等的定义求得解析由已知，得，即，，综合应用设复数满足，求的值和的取值范围分析充分利用共轭复数复数相等的性质及模的意义等即可解出成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修数系的扩充与复数的引入第五章第五章复数的四则运算课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算掌握共轭复数的概念本节重点复数的加减法运算，乘除运算及理解共轭复数的概念本节难点共轭复数的求解及特殊复数的灵活应用复数的加法与减法设，是任意两个复数，定义复数的加法减法为即容易验证，复数的加法满足交换律结合律，即对任意，有，两个复数相加减就是把实部与实部虚部与虚部分别相加减设，是任意两个复数，定义复数的乘法为两个复数的乘积仍然是个确定的复数两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部和虚部分别合并即可复数的乘法共轭复数般地，当两个复数的，这两个复数叫作互为共轭复数若，则它的共轭复数记作实数的共轭复数仍为它实部相等，虚部互为相反数时本身复数的除法复数的除法是复数乘法的逆运算，即把满足的复数，叫作复数除以所得的商，记作或由此可见，两个复数相除除数不为，所得的商是个确定的复数在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，化简得结果复数的运算律在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立即对任意复数和正整数有学习复数的加减法，只需把握复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减即可对于加减法的几何意义，应明确它们符合向量加减法的平行四边形法则另外，还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化了对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式乘法类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可复数加法减法的几个注意点复数加法减法类似于多项式的加法减法的合并同类项两复数的和差是个确定的复数实数的运算性质，在复数集中仍然成立复数的乘法满足交换律结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意的，有根据共轭复数的定义，若，是共轭复数，则它们在复平面内所对应的点，关于实轴对称若，则复数的加减乘除混合运算与实数的运算样满足实数的运算律和运算法则是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据复数问题向实数问题转化的思想和综合运用各种数学知识是解答复数问题的关键利用整体代入整体构造整体变换等整体思想进行求解，往往能获得简捷明快别具格的解法，在解复数问题时，更显突出牢记共轭复数的定义，熟悉共轭复数的相关性质常用知识常用小结论虚数的乘方及其规律，，即具有周期性且最小正周期为设，则的规律为，且也是具有周期性且最小正周期为复数的运算性质设，，则，，有以下性质ⅰⅱⅲ⇔ⅳ非零复数为纯虚数⇔复数模的运算性质ⅰⅱⅲ