变化状态如下表，极大值极小值从表中可以看出，当时，函数有极大值当时，函数有极小值函数的定义域为令，得或当变化时变化状态如下表，极小值极大值由上表可以看出，当时，函数有极小值，且当时，函数有极大值，且韶关市曲江中月考如图是函数的导函数的简图，它与轴的交点是,和,求函数的极小值点和单调递减区间求实数的值解析由图象可知当，在，上为增函数当时，在，上为增函数是函数的极小值点，函数的单调减区间是由图知且，，典例探究学案求函数的极值分析首先对函数求导，然后求方程的根，再检查在方程根左右两侧的值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值如果左负右正，那么在这个根处取得极小值利用导数求函数的极值解析，令，解得，当变化时，和的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值而当时，有极小值，并且极小值方法规律总结当函数在点处连续时，判断是否为极大小值的方法是如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值如果在点的左右两侧符号不变，则不是函数的极值利用导数求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数解方程得方程的根利用方程的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号确定函数的极值，如果的符号在处由正负变负正，则在处取得极大小值只是可导函数在取得极值的必要条件，不是充分条件例如函数，但不是的极值点答案解析，则知在区间，和，上单调递增，故当时，取极小值函数取得极小值时的值是，求参数的值或取值范围问题已知在处的极大值为，极小值为，试确定的值分析本题的关键是理解“在处的极大值为，极小值为”的含义即是方程的两个根且在根处取值左右异号解析由题意，应有根，故，于是当时，变化时，的变化情况如下表极大值无极值极小值由表可知，又，解之得当时，同理可得方法规律总结已知函数极值，确定函数解析式的图象在,内与轴有两不同交点，，，图象信息问题下图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论在区间,内是增函数在区间,内是减函数时，取到极大值在时，取到极小值其中正确的是将你认为正确的序号填在横线上分析给出了的图象，应观察图象找出使与，单调增，只有正确方法规律总结有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是的图象还是的图象，若给的是的图象，应先找出的单调区间及极最值点，如果给的是的图象，应先找出的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解吉林市实验中学高二期中设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中定成立的是函数有极大值和极小值函数有极大值和极小值函数有极大值和极小值函数有极大值和极小值答案解析由函数的图象可知并且当时当函数有极大值又当时当时故函数有极小值故选分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用分析是三次函数，是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间解析式中含参数，应分类讨论先求，解方程找分界点，再按的符号讨论单调性求极值若，试求函数的单调区间与极值解析，令，可得或若，当变化时的变化情况如下表，单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以在区间，内为减函数，在区间，内为增函数函数在处取得极小值，在处取得极大值若，当变化时的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在区间，内为增函数，在区间，内为减函数函数在处取得极大值，在处取得极小值方法规律总结若函数的解析式中含有参数，参数的取值变化可能影响函数的单调区间与极值，求单调区间与极值时应注意分段讨论已知函数，求的单调区间若在处取得极大值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围分析的表达式中含字母，的取值影响的符号变化，故求的单调区间应分类讨论在处取得极大值，即，由此可求得的值从而解出的两根直线与的图象有三个不同交点，且只有个极大值和个极小值，应有极小值极大值解析，当，当时，由解得由时，的单调增区间为，的单调减区间为，在处取得极大值，由解得，由中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是,注意极大值点与极小值点的区别已知在时有极值，求常数的值错解因为在时有极值，且所以，即，解得，或成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第章导数在研究函数中的应用第章函数的极值与导数典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案掌握极值的概念，了解函数在点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值极小值，及其他简单函数的极值重点函数极值的概念与求法难点函数的单调性与极值的综合应用在函数的图象上，有的点左右两侧函数的单调性相同，有的点左右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义函数的极值与导数的关系思维导航新知导学如图是函数的图象，在邻近的左侧单调递增右侧单调递减在邻近的函数值都比小，且在邻近情形恰好相反，图形上与类似的点还有，与类似的点还有我们把点叫做函数的极值点，是函数的个极值把点叫做函数的极值点，是函数的个极值大大小小般地，已知函数及其定义域内点，对于包含在内的开区间内的所有点，如果都有，则称函数在点处取得，并把称为函数的个如果都有，则称函数在点处取得，并把称为函数的个极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为极小值极小值点极值极值点理解极值概念时需注意的几点函数的极值是个局部性的概念，是仅对点的左右两侧的点而言的极值点是函数的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点若在定义域，内有极值，那么在，内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数极值附近定义域内没有极大值与极小值没有必然的大小关系个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在点的极小值可能大于另点的极值如图大函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数无极大值点有四个极小值点有个极大值点两个极小值点有两个极大值点两个极小值点有四个极大值点无极小值点答案牛刀小试解析设与轴的个交点，从左至右依次为，当，为增函数，当时，为减函数，则为极大值点，同理，为极大值点为极小值点点评有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是的图象还是的图象，若给的是的图象，应先找出的单调区间及极最值点，如果给的是的图象，应先找出的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解河南周口市高二期末已知是的两个极值点，且，解得求下列函数的极值解析函数的定义域为令，得或当变化时变化状态如下表，极大值极小值从表中可以看出，当时，函数有极大值当时，函数有极小值函数的定义域为令，得或当变化时变化状态如下表，极小值极大值由上表可以看出，当时，函数有极小值，且当时，函数有极大值，且韶关市曲江中月考如图是函数的导函数的简图，它与轴的交点是,和,求函数的极小值点和单调递减区间求实数的值解析由图象可知当，在，上为增函数当时，在，上为增函数是函数的极小值点，函数的单调减区间是由图知且，，典例探究学案求函数