1、“.....分别求与的数量积探究时其夹角为或，⊥时其夹角为，将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可计算向量的数量积互动探究解析，若与同向，则，若与反向，则，当⊥时，当与夹角为时，已知且与的夹角为，求探究利用数量积的定义求解，特别注意解析，即求个向量在另个向量方向上的投影已知，为单位向量，它们的夹角为，则在方向上的投影是在方向上的投影是探究将已知量代入在方向上的投影公式中计算即可答案已知，在方向上的投影是，则为答案解析已知是两个非零向量，同时满足......”。

2、“.....利用两向量的夹角公式计算求两个向量的夹角解析根据，有，又由，得而，设与的夹角为，则又，重庆已知非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为答案解析由题意，得，即，所以，，所以，，故选求向量的模已知，向量与的夹角为，求，的值探究先分别求，将模的计算转化为数量积的问题解析因为，所以，已知是方程的根，且求向量的模向量的模解析即把代入方程，得则，由知探索延拓判断平面图形的形状在中且，试判断的形状探究易知，分别将移至等号右边，得到三个等式......”。

3、“.....选取两个等式相减即可得到中两个向量的长度之间的关系解析在中，易知，即，因此从而，，两式相减可得，则，因为，所以，即同理可得，故，即是等边三角形规律总结依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积向量的长度向量的夹角等之间关系，移项两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等边垂直指明方向答案解析由易知，为钝角已知中，若满足，求与的夹角探究根据模长的关系......”。

4、“.....有，又由，得而，设与的夹角为，则又，重庆已知非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为答案解析由题意，得，即，所以，，所以，，故选求向量的模已知，向量与的夹角为，求，的值探究先分别求，将模的计算转化为数量积的问题解析因为，所以，已知是方程的根，且求向量的模向量的模解析即把代入方程，得则，由知探索延拓判断平面图形的形状在中且，试判断的形状探究易知，分别将移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得......”。

5、“.....易知，即，因此从而，，两式相减可得，则，因为，所以，即同理可得，故，即是等边三角形规律总结依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积向量的长度向量的夹角等之间关系，移项两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等边垂直指明方向答案解析由易知，为钝角已知中，若，则是钝角三角形直角三角形锐角三角形任意三角形易错点混淆向量的模与实数的运算误区警示已知与的夹角为，求及的值错解由题意......”。

6、“.....实际上思路分析直接利用完全平方和差公式正解由题意，得，已知向量，的夹角为与共线，则的最小值为答案解析，与共线与的夹角为或当时，当时，，当堂检测若，则在方向上的投影与在方向上的投影必相等答案解析设与的夹角为，与的夹角为，即，故选若与的夹角为，则答案解析湖南高考若非零向量满足，则与的夹角为答案解析若，则与的夹角的取值范围是答案解析因为，山东理已知菱形的边长为，，则答案解析在菱形中，所以已知......”。

7、“.....又成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修平面向量第二章平面向量的数量积第二章平面向量数量积的物理背景及其含义高效课堂课时作业优效预习当堂检测优效预习知识衔接已知若，则，，，，答案已知点的坐标分别为，向量的坐标为且，则的值为答案解析由,得，而由平行的条件得，选新课标全国Ⅱ理设向量，不平行，向量与平行，则实数答案解析由于与平行，所以存在，使得，即，因为向量，不平行......”。

8、“.....我们把数量叫做与的数量积或内积，其中是与的夹角记法记作，即规定零向量与任向量的数量积为投影叫做向量在方向上在方向上的投影几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积破疑点两向量与的数量积是个实数，不是个向量，其值可以为正当，时，也可以为负当，时，还可以为当或或时向量在上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为，它的符号取决于角的范围也等于与在的方向上的投影的乘积，其中在的方向上的投影与在的方向上的投影是不同的两个向量数量积的性质设都是非零向量......”。

9、“.....当与反向时特别地或平面向量数量积的运算律已知向量和实数交换律结合律分配律预习自测已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积答案解析根据两向量的数量积公式可得已知且，则向量在向量上的投影为答案解析向量在向量上的投影为给出以下命题若，则对任非零向量有，则与中至少有个为与是两个单位向量，则其中正确命题的序号是答案解析本题考查数量积的概念及向量运算上述个命题中只有正确对于，两个向量的数量积是个实数，应有对于，应为对于，由数量积定义，有，这里是与的夹角，只有或时，才有对于......”。