1、“.....实数运算中去括号移项合并同类项提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用共线向量与三点共线问题设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线试确定实数，使与共线探究欲证三点共线，即证存在实数，使，只要由已知条件找出即可由两向量共线，列出关于的等式，再由与不共线知，若，则解析证明共线，又它们有公共点，三点共线与共线，存在实数，使即是不共线的两个非零向量已知向量，求证三点共线求证其中探究利用向量证明三点共线时......”。

2、“.....通过向量关系证出“三点共线”的结论用，表示出，对照等式两端得出的关系解析，，又有公共点，所以三点共线，，所以，其中向量的线性运算如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形，又试用，表示探究用，表示表示，解析，规律总结解决此类问题的思路般是将所表示向量置于个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示如图，已知中，点是以点为对称中心的点的对称点和交于点，设，用，表示向量，解析由题意知是的中点，则，从而，又，所以......”。

3、“.....是平面上不共线的三个动点，动点满足，，，则的轨迹定通过的外心内心重心垂心答案解析解法如下图所示，设为上的单位向量，上的单位向量，则的方向与的方向相同，点在上移动的轨迹定通过的内心，般是把“共线”问题转化为“向量关系”，通过向量关系证出“三点共线”的结论用，表示出，对照等式两端得出的关系解析，，又有公共点，所以三点共线，，所以，其中向量的线性运算如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形，又试用，表示探究用，表示表示，解析......”。

4、“.....用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示如图，已知中，点是以点为对称中心的点的对称点和交于点，设，用，表示向量，解析由题意知是的中点，则，从而，又，所以，探索延拓向量在平面几何中的应用为平面上的定点，是平面上不共线的三个动点，动点满足，，，则的轨迹定通过的外心内心重心垂心答案解析解法如下图所示，设为上的单位向量，上的单位向量，则的方向与的方向相同，点在上移动的轨迹定通过的内心故选解法二由于点轨迹通过内定点且该定点与点位置和的形状无关......”。

5、“.....由平行四边形法则，很容易看出点在的平分线上，故选点评理解，的几何意义是解答本题的关键是平面内定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，，则点的轨迹定通过的外心内心重心垂心答案解析取中点，三点共线，因此定过的重心，故选当堂检测等于答案解析已知，下面式子正确的是与同向若，则答案解析对，当时正确，否则错误对是向量而非数对，若，则点在直线上，且，则等于答案解析已知向量，且，若，则或答案解析当时，显然有当时，，又，存在实数，使，即又，已知是两个非零向量......”。

6、“.....且的模是的模的倍的方向与的方向相反，且的模是的模的与是对相反向量与是对相反向量答案解析真命题因为，所以与的方向相同又，所以命题是真命题真命题因为，所以与方向相同，且，而，所以与的方向相反所以与的方向相反，且模是的模的故是真命题真命题依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断假命题因为与是对相反向量所以与是对相等向量，故是假命题正确命题个数为，答案已知两个非零向量不共线，若求证三点共线分析证明，又和有公共点，三点共线规律总结用向量法证明三点共线时......”。

7、“.....使得为这三点构成的其中任意两个向量证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修平面向量第二章平面向量的线性运算第二章向量数乘运算及其几何意义高效课堂课时作业优效预习当堂检测优效预习若非零向量互为相反向量，则下列说法中错误的是答案知识衔接若与为非零向量，且，则，且与方向相同是方向相反的向量无论什么关系均可答案若表示向东走，表示向北走，则，的方向是答案东北方向向量的数乘自主预习定义般地......”。

8、“.....这种运算叫做向量的数乘，记作长度的方向与的方向方向的方向与的方向向量相同相反破疑点实数与向量可以进行数乘运算，其结果是个向量，不是实数但实数与向量不能进行加减运算，如，是错误的对任意非零向量，则向量是与向量同向的单位向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向扩大或缩小倍向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律设为实数，则分配律特别地，我们有，拓展在中，是的中点，则有共线向量定理向量与共线，当且仅当有唯个实数，使总结向量共线的条件当向量时，与任向量共线当向量时，对于向量......”。

9、“.....使，那么由实数与向量的积的定义知与共线反之，已知向量与共线且向量的长度是向量长度的倍，即，那么当与同方向时，当与反方向时如果向量与不共线，且，那么拓展已知三点共线，是平面内任意点，则有，其中向量的线性运算向量的运算统称为向量的线性运算，对于任意向量以及任意实数，恒有加减数乘已知非零向量满足，则与的方向相同与的方向相反答案解析，与的方向相同，与的方向相同预习自测将化简成最简式为答案解析原式在▱中，则等于答案解析已知，则三点共线三点共线三点共线三点共线答案解析......”。