1、“.....则无解，与不共线，即与可作为组基底设，则，则无解，与不共线，即与可作为组基底，与共线，即与不可作为组基底设，则，无解，与不共线，即与可作为组基底规律总结根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题若不共线，则它们可作为组基底若共线，则它们不可能作为组基底用基底表示向量已知为线段上距较近的个三等分点，为线段上距较近的个三等分点，则用表示的表达式为解析，选答案已知平行四边形的对角线交于点，用表示答案解析，已知两个非零向量与的夹角为，试求下列向量的夹角与与探究首先作出相应向量，然后依据向量夹角的定义求解有关向量夹角的计算解析由向量夹角的定义......”。

2、“.....如图，向量与的夹角为如图，向量与的夹角为规律总结解决此类问题时，应先作出图形，明确要求的角，然后结合图形求出角度如图，已知是等边三角形求向量与向量的夹角若为的中点，求向量与的夹角解析为等边三角形，如图，延长至点，使，则，为向量与的夹角，向量与的夹角为为的中点，⊥，与的夹角为探索延拓综合分析与解决问题的能力如图，在中，分别是边上的点，且设与相交于点，用向量表示探究该题目不能直接通过向量的加减及数乘运算确定可以引进参数，利用“表示方法的唯性”确定参数，进而确定解析设则不共线，⇒，在中，与交于点，设试以为基底表示探究先用平面向量基本定理设出，分别表示出后，再利用共线向量的条件列出方程组，从而确定，的值解析设，，则三点共线......”。

3、“.....消去即由可得，解得，已知，，则与共线的条件为或错解错因分析在应用平面向量基本定理时，要注意中不共线这个条件若没有指明，则应对，共线的情况加以考虑易错点忽略两个向量作为基底的条件误区警示思路分析当时，，又因为，所以又，故与共线当时，则又因为，所以又因为，故与共线正解已知向量不共线，实数满足，则等于答案解析，不共线，解得，易错点二分不清向量的起点和终点在中，，，则与的夹角错解是与的夹角错因分析错解中已知两个非零向量与的夹角为，试求下列向量的夹角与与探究首先作出相应向量，然后依据向量夹角的定义求解有关向量夹角的计算解析由向量夹角的定义，作出与的夹角，如图，向量与的夹角为如图，向量与的夹角为规律总结解决此类问题时，应先作出图形......”。

4、“.....然后结合图形求出角度如图，已知是等边三角形求向量与向量的夹角若为的中点，求向量与的夹角解析为等边三角形，如图，延长至点，使，则，为向量与的夹角，向量与的夹角为为的中点，⊥，与的夹角为探索延拓综合分析与解决问题的能力如图，在中，分别是边上的点，且设与相交于点，用向量表示探究该题目不能直接通过向量的加减及数乘运算确定可以引进参数，利用“表示方法的唯性”确定参数，进而确定解析设则不共线，⇒，在中，与交于点，设试以为基底表示探究先用平面向量基本定理设出，分别表示出后，再利用共线向量的条件列出方程组，从而确定，的值解析设，，则三点共线，消去得而三点共线，消去即由可得，解得，已知，......”。

5、“.....要注意中不共线这个条件若没有指明，则应对，共线的情况加以考虑易错点忽略两个向量作为基底的条件误区警示思路分析当时，，又因为，所以又，故与共线当时，则又因为，所以又因为，故与共线正解已知向量不共线，实数满足，则等于答案解析，不共线，解得，易错点二分不清向量的起点和终点在中，，，则与的夹角错解是与的夹角错因分析错解中，误认为是与的夹角，其实不然，是与的夹角，与的起点不同，则不是夹角思路分析当且仅当与的起点相同，且，时，才是向量与的夹角正解如图所示，延长到，使，则，是与的夹角，由于，，则，即答案在等腰直角三角形中，，则与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为当堂检测向量的夹角的范围是答案设是平面内所有向量的组基底......”。

6、“.....所以为平行向量，不能作为组基底设是同平面内的两个向量，则有定平行的模相等同平面内的任向量，都有，若不共线，则同平面内的任向量，都有，答案解析由平面向量基本定理可知，选项正确对于任意向量选项不正确，而只有当与为不共线向量时，选项才正确如右图，设是▱两对角线的交点，有下列向量组与与与与其中可作为该平面内所有向量基底的是答案解析与不共线，，与不共线，，则可以作为该平面内所有向量的基底如果是平面内所有向量的组基底，那么下列命题中正确的是已知实数，则向量不定在平面内对平面内任向量，使的实数，可以不唯若有实数使，则对平面内任向量，使的实数不定存在答案解析选项中，由平面向量基本定理知与共面，所以项不正确选项中，实数有且仅有对，所以项不正确选项中......”。

7、“.....所以项不正确很明显项正确如图所示，已知在平行四边形中，分别是边上的中点若试以为基底表示解析四边形是平行四边形，分别是边上的中点，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修平面向量第二章平面向量的基本定理及坐标表示第二章平面向量基本定理高效课堂课时作业优效预习当堂检测优效预习上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为，记为，它的长度与方向规定如下当时，的方向与的方向相同当相反知识衔接若，和的方向相反，且，则答案如图所示，是的边上的中点，则向量等于答案北京理在中，点，满足，若，则答案解析由题中条件得，所以，平面向量基本定理如果是同平面内的两个向量，那么对于这平面内的任意向量，有且只有对实数，使......”。

8、“.....在平面内任向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯的，同个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯的，即，且于对固定的向量与不共线而言，平面内任确定的向量的分解是唯的，但平面内的基底却不唯，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组向量的夹角定义两个非零向量和，且则叫做向量和的夹角如图所示，范围是当时，向量和当时，向量和垂直如果向量和的夹角是，我们就说向量与垂直，记作同向反向⊥答案解析根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选预习自测已知向量，不共线......”。

9、“.....两向量同向与的夹角为，两向量反向两向量与的夹角为在▱中，设试用基底表示分析本题实质是平面向量基本定理的应用通过观察图形，直接寻找向量之间的关系，可以看作转移法也可利用方程思想，直接用表示，然后将看作未知量，利用方程思想，解得解析方法如图，设相交于点，则有，方法二设则有，且，即，解之，可得即，高效课堂考查对基底概念的理解互动探究如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是可以表示平面内的所有向量对于平面内任向量，使的实数对，有无穷多个若向量与共线，则若实数使得，则探究应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量与不共线和平面内向量用基底表示的唯性求解解析由平面向量基本定理可知，是正确的对于......”。