∅是否满足题意，这也是初学者极易出错的地方对集合间关系具有的性质的两点说明对于任何个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关系也具有传递性，即，，则子集关系的运用写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集思路点拨已知集合子集概念分类讨论子集真子集概念真子集解不含任何元素的集合∅含有个元素的集合含有两个元素的集合含有三个元素的集合故集合的所有子集为∅其中除去集合，剩下的都是的真子集写出个有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集∅和自身其次按含个元素的子集两个元素的子集三个元素的子集„„依次写出集合„，的子集个数为个真子集有个非空子集有个非空真子集有个若⊆，则集合的个数为解析集合是集合的真子集，同时集合又是集合的子集，所以集合只能取集合,和答案设集合且，求的值集合相等关系的应用思路点拨集合相等的概念元素的特性列方程组解方法由，有或，解方程组得，，或或，由集合元素的互异性，知故方法二由，可得即，根据集合元素的互异性知，故由集合相等求参数取值的方法从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，是利用分类讨论的方法建立方程组求，的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同建立方程组求，的值需要注意的是解方程组后要代入检验，对不符合题意的，的值要舍去设集合若，求实数，的值解因为集合，相等，所以或当时则不满足集合中元素的互异性，故舍去当时解得或由知应舍去综上知，已知集合，集合，若⊆，求的取值范围由集合间的基本关系确定参数的取值范围思路点拨⊆概念真子集解不含任何元素的集合∅含有个元素的集合含有两个元素的集合含有三个元素的集合故集合的所有子集为∅其中除去集合，剩下的都是的真子集写出个有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集∅和自身其次按含个元素的子集两个元素的子集三个元素的子集„„依次写出集合„，的子集个数为个真子集有个非空子集有个非空真子集有个若⊆，则集合的个数为解析集合是集合的真子集，同时集合又是集合的子集，所以集合只能取集合,和答案设集合且，求的值集合相等关系的应用思路点拨集合相等的概念元素的特性列方程组解方法由，有或，解方程组得，，或或，由集合元素的互异性，知故方法二由，可得即，根据集合元素的互异性知，故由集合相等求参数取值的方法从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，是利用分类讨论的方法建立方程组求，的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同建立方程组求，的值需要注意的是解方程组后要代入检验，对不符合题意的，的值要舍去设集合若，求实数，的值解因为集合，相等，所以或当时则不满足集合中元素的互异性，故舍去当时解得或由知应舍去综上知，已知集合，集合，若⊆，求的取值范围由集合间的基本关系确定参数的取值范围思路点拨⊆数轴分析法的不等式的取值范围解⊆，是的子集，如下图要使⊆，则互动探究本例已知条件不变，将“⊆”改为“⊆”，的取值范围如何解⊆，是的子集，如下图要使⊆，则利用集合关系求参数应关注三点分析集合关系时，首先要分析简化每个集合此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误般含用实心点表示，不含用空心点表示此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集已知集合且⊆，求实数的取值范围解已知⊆，则当∅时解得当∅时，有，解得，综上得思想方法系列利用集合间的关系求参数的取值范围分类讨论思想与数形结合思想已知集合，求满足⊆的实数的取值范围解当时，∅，显然⊆当时，⊆，由下图可知，解得当时，⊆，由下图可知，解得综上可知或，或时，⊆特别关注分类讨论的意识集合中含有参数，解不等式，化简集合时，需要分，和三种情况讨论不能忽视对集合为空集的讨论，以防漏解数形结合的意识由⊆列出关于的不等式组，应学会使用数轴，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，此时要对端点值单独验证跟踪训练已知集合或当⊆时，求实数的取值范围解，又⊆，画出数轴如下图，可得，即，实数的取值范围为第章集合与函数概念集合间的基本关系理解集合之间的包含与相等的含义重点能识别给定集合的子集真子集，会判断集合间的关系难点易混点在具体情境中了解空集的含义并会应用难点自然语言如果集合中元素都是集合中的元素，就说这两个集合有关系，称集合为集合的子集符号语言⊆或⊇图形语言子集任何个包含集合相等定义如果⊆，且⊆，那么就说集合与集合相等用符号表示为自然语言如果集合⊆，但存在元素，且，那么称集合是集合的真子集符号语言或图形语言真子集∉空集定义的集合，叫做空集用符号表示为规定空集是任何集合的子集真子集的性质任何集合是它本身的子集，即对于集合，如果⊆，且⊆，那么对于集合，如果，且，那么不含任何元素∅子集⊆⊆想想正整数集是自然数集的子集吗提示显然中任意元素都是的元素，故⊆做做下列集合与相等的是设集合三角形，等腰三角形，等边三角形，则集合之间的真包含关系是答案判判正确的打，错误的打“”集合是空集集合，是空集空集没有子集对子集概念的理解“是的子集”的含义是集合中的任何个元素都是集合的元素，即有任意能推出“注意任何个元素”而不是个或些元素不能把“⊆”理解为“是中部分元素组成的集合”，因为当∅时，⊆，但中不含任何元素又当时，也有⊆，但中含有中所有元素，这两种情况都有⊆注意符号“⊆”与“”的区别对真子集的理解对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面首先是集合的子集，其次不能与原集合相等对集合相等的理解从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合中的元素和集合中的元素相同，则这两个集合相等从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即⊆，则对任意都有，同时⊆，则对任意都有，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等对空集的理解空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集因此遇到诸如⊆，的问题时，务必优先考虑∅是否满足题意，以防漏解优先考虑∅是否满足题意，这也是初学者极易出错的地方对集合间关系具有的性质的两点说明对于任何个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关系也具有传递性，即，，则子集关系的运用写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集思路点拨已知集合子集概念分类讨论子集真子集概念真子集解不含任何元素的集合∅含有个元素的集合含有两个元素的集合含有三个元素的集合故集合的所有子集为∅其中除去集合，剩下的都是的真子集写出个有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集∅和自身其次按含个元素的子集两个元素的子集三个元素的子集„„依次写出集合„，的子集个数为个真子集有个非空子集有个非空真子集有个若⊆，则集合的个数为解析集合是集合的真子集，同时集合又是集合的子集，所以集合只能取集合,和答案设集合且，求的值集合相等关系的应用思路点拨集合相等的概念元素的特性列方程组解方法由，有或，解方程组得，，或或，由集合元素的互异