念的推广，而函数是种特殊的映射，在对应方面只允许存在“对”与“多对”这两种对应，而不允许“对多”或“多对多”的对应已知函数，，求值若，求的值分段函数求值问题思路点拨分段考虑求值即可先求，再求，最后求分别令，分段验证求解，，当时不符合当时，其中符合当时符合综上，的值是或互动探究本例已知条件不变，若，求的值解当时符合当时，无解当时不符合综上，的值是求分段函数函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪段区间然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现的形式时，应从内到外依次求值已知函数值求字母取值的步骤先对字母的取值范围分类讨论然后代入到不同的解析式中通过解方程求出字母的值检验所求的值是否在所讨论的区间内已知函数，求的值若，求实数的值解由知，，且，当时即，不合题意，舍去当时即所以，得，或∉符合题意当时即符合题意综上可得，当时或分段函数的图象及应用问题已知，或，画出的图象求的定义域和值域思路点拨解答本题可分段画出图象，再结合图象求函数值域解利用描点法，作出的图象，如图所示由条件知，函数的定义域为由图象知，当时，的值域为当或时所以的值域为,分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可当时即，不合题意，舍去当时即所以，得，或∉符合题意当时即符合题意综上可得，当时或分段函数的图象及应用问题已知，或，画出的图象求的定义域和值域思路点拨解答本题可分段画出图象，再结合图象求函数值域解利用描点法，作出的图象，如图所示由条件知，函数的定义域为由图象知，当时，的值域为当或时所以的值域为,分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象已知函数用分段函数的形式表示该函数画出该函数的图象写出该函数的值域解当时当时，，，函数的图象如图所示，由知，在,上的值域为,映射的判断判断下列对应是不是从集合到集合的映射对应关系平面内的圆，平面内的矩形，对应关系作圆的内接矩形高班的男生，男生的身高，对应关系每个男生对应自己的身高对应关系思路点拨解答本题可由映射的概念出发，观察中任何个元素在中是否都有唯的元素与之对应解由于中元素在对应关系作用下其与的差的绝对值为，而∉，故不是映射因为个圆有无数个内接矩形，即集合中任何个元素在集合中有无数个元素与之对应，故不是映射对中任何个元素，按照对应关系，在中都有唯元素与之对应，符合映射定义，是映射是映射，因为中每个元素在作用下对应的元素构成的集合⊆，符合映射定义给定两集合，及对应关系，判断是否是从集合到集合的映射，主要利用映射的定义用通俗的语言讲的对应有“多对”“对”“对多”“多对多”，前两种对应是到的映射，而后两种不是到的映射判断下列对应关系哪些是从集合到集合的映射，哪些不是，为什么，对应关系，，对应关系，对应关系解对于集合中任意个非负数在集合中都有唯元素与之对应，对于中任意个负数在集合中都有唯元素与之对应，所以这个对应是映射集合中的元素在集合中没有元素与之对应，故不是映射在的作用下，集合中的元素分别对应到集合中的元素，但集合中的元素应该对应，但∉，故这个对应不是映射思想方法系列三由分段函数值求自变量的值范围分类讨论思想已知若，求的值解由，结合的解析式知，按，和进行讨论当时由，得，与矛盾，应舍去当时由，得，满足当由，得，又综上可知，的取值为或特别关注所给函数是分段函数，若已知分段函数值，求自变量的值，可采用分类讨论的思想方法求解，因为分段函数在定义域的不同子区间内对应关系不同确定分类讨论的标准是解答此类问题的关键，讨论般是以子区间的端点为标准，如本例就是以和为分界点进行讨论的跟踪训练已知函数若，则求实数的值解当时，由得解得，舍去当时，由得解得第章集合与函数概念第课时分段函数映射了解简单的分段函数，并能简单应用重点了解映射的概念及它与函数的联系重点易混点分段函数如果函数，，根据自变量在中不同的，有着不同的，则称这样的函数为分段函数映射设是两个的集合，如果按个确定的对应关系，使对于集合中的元素，在集合中都有的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的个映射取值范围对应关系非空任意个唯确定判判正确的打，错误的打“”分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续若，分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则∩∅函数，是分段函数想想已知集合是中国人，集合是每个中国人的身份证号码，对应关系每个中国人对应自己的身份证号码，那么对应是函数吗是映射吗提示不是函数，而是映射原因是集合与是非空的集合，但不是非空的数集函数是映射吗提示对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射对分段函数的理解分段函数是个函数，而不是几个函数，其表示法是解析法的种形式例如，函数，不能写成,或，分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的例如，，其“段”是不等长的画分段函数的图象时，定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示，若端点不包含在内，则用空心圈表示写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪个范围，然后选取相应的对应关系分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集分段函数的最大小值则是分别在每段上求出最大小值，然后取各段最大小值中的最大小值有些函数形式虽不是分段写的，但实质上是可以化归为分段函数来处理的，例如，可等价化为理解映射的概念必须注意以下几点方向性，“集合到集合的映射”与“集合到集合的映射”往往不是同个映射非空性，集合，必须是非空集合唯性，对于集合中的任何个元素，集合中都有唯确定的元素与之对应，这是映射的唯性存在性，就是说对集合中任何个元素，集合中都有元素和它对应，这是映射的存在性，也可以说中任元素的象必在集合中映射可以看成函数概念的推广，而函数是种特殊的映射，在对应方面只允许存在“对”与“多对”这两种对应，而不允许“对多”或“多对多”的对应已知函数，，求值若，求的值分段函数求值问题思路点拨分段考虑求值即可先求，再求，最后求分别令，分段验证求解，，当时不符合当时，其中符合当时符合综上，的值是或互动探究本例已知条件不变，若，求的值解当时符合当时，无解当时不符合综上，的值是求分段函数函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪段区间然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现的形式时，应从内到外依次求值已知函数值求字母取值的步骤先对字母的取值范围分类讨论然后代入到不同的解析式中通过解方程求出字母的值检验所求的值是否在所讨论的区间内已知函数，求的值若，求实数的值解