函数在，上是增函数互动探究判断并证明本例中函数在,上的单调性解函数在,上单调递减，证明如下任取，且，则即函数在,上是减函数利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的般步骤为利用定义判断并证明在区间，上的单调性证明任取，，且，则且，，在区间，上是增函数求函数的单调区间根据函数图象求单调区间思路点拨去绝对值化为分段函数作图象求单调区间解函数的图象如图所示，由图象可以看出，在，和,上的图象是上升的，在,和，上的图象是下降的，函数的单调递增区间是，和单调递减区间是,和，由函数图象确定函数单调区间是种直观简单的方法，对于求较复杂的函数的单调区间，可以利用些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”来表示求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间是定义域的子集作出函数的图象，并指出函数的单调区间解图象如图所示由图可知函数的单调递增区间为，和，单调递减区间为，已知函数在，上是减函数，求实数的取值范围已知函数单调性求参数的取值范围思路点拨函数解析式配方图象的对称轴对称轴与所给区间的关系关于的不等式的范围解，此二次函数的对称轴为的单调减区间为，在，上是减函数，对称轴必须在直线的右侧或与其重合，解得实数的取值范围是，互动探究在本例中，若将“函数在，上是减函数”改为“函数的单调递减区间为，”，则为何值若改为“函数在，是减函数利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的般步骤为利用定义判断并证明在区间，上的单调性证明任取，，且，则且，，在区间，上是增函数求函数的单调区间根据函数图象求单调区间思路点拨去绝对值化为分段函数作图象求单调区间解函数的图象如图所示，由图象可以看出，在，和,上的图象是上升的，在,和，上的图象是下降的，函数的单调递增区间是，和单调递减区间是,和，由函数图象确定函数单调区间是种直观简单的方法，对于求较复杂的函数的单调区间，可以利用些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”来表示求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间是定义域的子集作出函数的图象，并指出函数的单调区间解图象如图所示由图可知函数的单调递增区间为，和，单调递减区间为，已知函数在，上是减函数，求实数的取值范围已知函数单调性求参数的取值范围思路点拨函数解析式配方图象的对称轴对称轴与所给区间的关系关于的不等式的范围解，此二次函数的对称轴为的单调减区间为，在，上是减函数，对称轴必须在直线的右侧或与其重合，解得实数的取值范围是，互动探究在本例中，若将“函数在，上是减函数”改为“函数的单调递减区间为，”，则为何值若改为“函数在，上是增函数”呢解若的单调递减区间为则若在，是增函数，则即的取值范围为，已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维利用已知函数研究函数单调性问题，像次函数二次函数正比例函数反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可若函数在，上是增函数，求实数的取值范围解任取，，，且，由题意知即，，又，易错误区系列三忽视分段函数分段点处的单调性致误若函数，是，上的减函数，则实数的取值范围是，，错解本题易错选因忽视分段点处函数值的大小比较，从而导致答案不正确正解由时，是减函数，得，由时，函数是减函数，得，分段点处的值应满足，解得，故选答案纠错心得函数图象的应用在函数的单调性这部分，尤其出现二次函数和分段函数来求参数的取值范围时，都先要画出函数图象，从而避免在求参数的取值范围时出错，如本例在两段中都可借助草图列出关系式，进而求出的范围特殊情况的处理在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每段的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点，即需要在此处满足题意列出关系式，求出的限制条件成功破障已知函数，是，上的减函数，则实数的取值范围是，，，，解析当时，函数是减函数，解得，当时，函数是减函数，分段点处的值应满足，解得，答案第章集合与函数概念函数的基本性质单调性与最大小值第课时函数的单调性理解函数单调性的概念重点难点掌握判断函数单调性的般方法重点易错点会求函数的单调区间重点定义域为的函数的增减性函数的单调性与单调区间如果函数在区间上是，那么就说函数在这区间具有严格的单调性，区间叫做的增函数或减函数单调区间想想在增减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”提示不能如图所示，虽然，但在,上并不递增若函数在其定义域内的两个区间上都是增减函数，能不能认为在上是增减函数呢提示不能如在，上是减函数，在，上也是减函数，但不能说它在定义域，，上是减函数，事实上，取，有，不符合减函数定义所有的函数都具有单调性吗提示未必有的函数不具备单调性，如函数，为有理数为无理数它的定义域为，但不具备单调性增函数减函数定义的理解单调性是与“区间”紧密相关的概念，个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性，即单调性是函数的个“局部”性质定义中的，有以下三个特征任意性，即“任意取，”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替般有大小属于同个单调区间单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化从三方面正确理解单调函数有些函数在定义域上是单调的，如函数有些却只在定义域内的子区间上单调，如在，上为减函数，在，上为增函数还有不单调的函数，如函数在定义域的几个子区间上都具有相同的单调性，也不定在定义域上是单调的如，有两个减区间，和，，但在定义域上不是单调的注意定义域是否含有端点值，例如，的减区间为，也可以写成但的减区间只能写成，和，增减函数与图象升降的关系若函数在区间上是增函数，则的图象在上是上升的若函数在区间上是减函数，则的图象在上是下降的，反之亦然利用定义证明函数的单调性证明函数在，上是增函数思路点拨取值作差变形判号定论证明任取，，，且，则，即函数在，上是增函数互动探究判断并证明本例中函数在,上的单调性解函数在,上单调递减，证明如下任取，且，则即函数在,上是减函数利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的般步骤为利用定义判断并证明在区间，上的单调性证明任取，，且，则且，，在区间，上是增函数求函数的单调区间根据函数图象求单调区间思路点拨去绝对值化为分段函数作图象求单调区间解函数的图象如图所示，由图象可以看出，在，和,上的图象是上升的，在,和，上的图象是下降的，函数的单调递增区间是，和单调递减区间是,和，由函数图象确定函数单调区间是种直观简单的方法，对于求较复杂的函数的单调区间，可以利用些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求个函数出现两个或两个以上单