为运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法函数最值与单调性有如下关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，那么函数，，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，那么函数，，在处有最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值求在区间,上的最值解任取，则，在区间,上是单调减函数，建造个容积为立方米，深为米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元把总造价元表示为池底的边长米的函数由于场地原因，蓄水池的边长不能超过米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低总造价最低是多少函数最值的实际应用思路点拨池底面积池壁面积总造价函数单调性总造价最低值及相应的值解由已知池底的面积为平方米，设底面的边长为米，底面的另边长为米，则池壁的面积为平方米所以总造价元，，由题意知，设，则，得，即从而这个函数在,上是减函数，故当时，所以当池底是边长为米的正方形时，总造价最低为元互动探究本例中，“不能超过米”改为“不能低于米且不能超过米”，结果如何解，,设，则，即从而这个函数在,上是增函数，故当时，所以当池底边长为米时，总造价最低为元解实际应用题的四个步骤审题解读实际问题，找出已知条件未知条件，确定自变量和因变量的条件关系建模建立数学模型，列出函数关系式求解分析函数性质，利用数学知识探究问题解法定注意自变量的取值范围回归数学问题回归实际问题，写出答案市家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份元，卖出价格是每元，，由题意知，设，则，得，即从而这个函数在,上是减函数，故当时，所以当池底是边长为米的正方形时，总造价最低为元互动探究本例中，“不能超过米”改为“不能低于米且不能超过米”，结果如何解，,设，则，即从而这个函数在,上是增函数，故当时，所以当池底边长为米时，总造价最低为元解实际应用题的四个步骤审题解读实际问题，找出已知条件未知条件，确定自变量和因变量的条件关系建模建立数学模型，列出函数关系式求解分析函数性质，利用数学知识探究问题解法定注意自变量的取值范围回归数学问题回归实际问题，写出答案市家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份元，卖出价格是每份元，卖不掉的报纸以每份元的价格退回报社在个月按天计算里，有天每天可卖出份，其余天每天只能卖出份则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的解设每天从报社买进，份晚报，每月获利为元，则有因为函数在，上是减函数，所以时函数取得最大值，最大值为即摊主每天从报社买进份晚报时，每月获得的利润最大，为元思维创新系列三二次函数的最值问题求二次函数在,上的最大值和最小值思路点拨开口方向对称轴与，的位置关系在，上的单调性在，上的最值解当时，如图，在,上是增函数当时，如图当时，如图当时，如图，在,上是减函数综上，，，借题发挥对于二次函数的最值问题，要结合函数图象抛物线，对其对称轴和所给区间的位置关系作出判断，不确定时可分类讨论如本例由于对称轴，而的取值不定，从而分四种情况讨论抛物线开口方向对称轴位置与所给区间三者之间相互制约，要特别注意般地，对于二次函数在区间，上的最值情况可总结如下对称轴与，的位置关系最大值最小值或若含有字母，要根据对称轴与区间的关系进行讨论，解题时要注意数形结合多维探究对于二次函数的最值问题，除了上面的动轴定区间问题以外，还有以下两类情况定轴动区间问题例已知函数，若，时，求函数的最值解对称轴，当即时当，即时当，即，当，即时，设函数最大值为，最小值为时，则有，已知二次函数的最大小值，求参数例已知函数，且，求实数的取值范围解，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为又，且，即实数的取值范围是,第章集合与函数概念第课时函数的最大小值理解函数的最大小值的概念及其几何意义重点会求些简单函数的最大值或最小值重点难点函数的最大值最小值最值最大值最小值条件设函数的定义域为，如果存在实数满足对于任意的，都有存在，使对任意，都有存在，使结论是函数的最大值是函数的最小值想想从函数图象上看，函数最大值最小值在什么位置取得提示从函数图象上看，函数的最大值最小值应在图象的最高点最低点取得做做如图为函数，,的图象，指出它的最大值最小值解观察函数图象可知，图象上位置最高的点是最低的点是所以函数当时取得最大值，最大值是，当时取得最小值，最小值是最大值最小值定义的理解最大小值定义中具备的两个条件对于定义域内的全部元素，都有成立首先是个函数值，是值域中的个元素，如的最大值是，有，注意定义中“存在”词的理解两条件缺不可，若只有前者，不是最大小值，如成立，但不是最大值，更不能只有后者，那样就丢掉了最大值的核心了图象法求函数最值试画出的图象，并说明最值情况思路点拨去绝对值符号画分段函数图象得最值情况解，图象如图所示由图象可知，的最小值为，没有最大值利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用图象法求最值的般步骤是试求函数的最值解原函数变为，，，其图象如图所示，显然函数值，所以函数有最小值，无最大值单调性法求最值已知函数，,判断函数的单调性并证明求函数的最大值和最小值思路点拨判断的单调性证明的单调性求出的最值解在,上为增函数，任取，,且，则,且函数在,上为增函数由知，当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值为运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法函数最值与单调性有如下关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，那么函数，，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，那么函数，，在处有最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值求在区间,上的最值解任取，则，在区间,上是单调减函数，建造个容积为立方米，深为米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元把总造价元表示为池底的边长米的函数由于场地原因，蓄水池的边长不能超过米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低总造价最低是多少函数最值的实际应用思路点拨池底面积池壁面积总造价函数单调性总造价最低值及相应的值解由已知池底的面积为平方米，设底面的边长为米，底面的另边长为米，则池壁的面积为平方米所以总造价元，