标准方程例年江西过双曲线的右顶点作轴的垂线与的条渐近线相交于若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为答案解析因为的渐近线为，所以，或，因此，从而为正三角形，即，双曲线的方程为与双曲线有共同的渐近线，且过点,的双曲线方程为解析因为与有相同渐近线，所以可设所求双曲线的方程为由于点,在双曲线上，所以有所以故所求双曲线方程为答案规律方法求双曲线方程的关键是确定，的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题若已知双曲线的渐近线方程为，可设双曲线系方程为与双曲线共渐近线的双曲线系方程为互动探究年广东已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则双曲线的方程是解析因为，所以，故选考点双曲线的几何性质答案例年新课标Ⅰ已知双曲线的离心率为，则解析双曲线的离心率为，解得答案年新课标Ⅰ已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为解析，设则根据渐近线公式可知答案选规律方法离心率是双曲线几何性质中的个重点问题求离心率的常用方法有两种求得,的值,直接代入公式求得列出关于的齐次式或不得依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得的取值范围是设，两点的坐标分别为则由式，得假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点则由⊥，得即整理，得把式及代入式化简，得解得或∉，舍去可知当时，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点规律方法当直线与双曲线的渐近线平行时此时二次项的系数为零，直线与双曲线只有个交点，因此利用根的判别式判断直线与双曲线的交点的个数时，要特别注意二次项的系数直线与双曲线的右支交于不同的两点即方程有两正根直线与双曲线的左支交于不同的两点即方程有两负根直线与双曲线的左右支交于不同的两点即方程有正负根互动探究设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点平行于双曲线的条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为解析双曲线的方程为,渐近线方程为直线的方程为,代入双曲线方程，得解得，，或，易错易混易漏忽视直线与双曲线相交的判断致误解方法设符合题意的直线存在，并设则，⇒例题由人教版选修改编已知双曲线，问过点,是否存在直线与双曲线交于，两点，并且为线段的中点若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由因为,为的中点，所以，若，则直线的方程为，显然不符合题意，则直线的斜率，所以符合条件的直线存在，其方程为又由得再由，所以所求直线不存在方法二设点，在双曲线上，且线段的中点为若直线的斜率不存在，显然不符合题意设经过点的直线的方程为，即由得所以由题意，得，解得当时，方程化简后为，方程没有实数解所以不能作条直线与双曲线交于，两点，且点,是线段的中点失误与防范本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不定正确错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的思考两个问题如将本题中点的坐标改为看看结论怎样中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦过椭圆内点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点定存在，但在双曲线中则不能确定，这是因为过椭圆内点的任直线与椭圆肯定相交，而点在双曲线内外在中学阶段很难界定因此直线与双曲线的位置关系必须利用根的判别式检验第讲双曲线了解双曲线的定义几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质理解数形结合的思想双曲线的概念平面内与两个定点，的距离之差的绝对值为常数小于且不等于零的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合其中，为常数且时，点不存在标准方程图形双曲线的标准方程和几何性质标准方程性质范围或，，或对称性对称轴坐标轴对称中心原点顶点渐近线离心率续表，，，其中标准方程性质实虚轴线段叫做双曲线的实轴,它的长线段叫做双曲线的虚轴,它的长叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长的关系，续表等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率为年四川双曲线的离心率等于解析年陕西双曲线的离心率为，则等于解析因为离心率为，所以，又因为且，所以经计算可知答案为若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为，，年江苏双曲线的两条渐近线的方程为考点求双曲线的标准方程例年江西过双曲线的右顶点作轴的垂线与的条渐近线相交于若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为答案解析因为的渐近线为，所以，或，因此，从而为正三角形，即，双曲线的方程为与双曲线有共同的渐近线，且过点,的双曲线方程为解析因为与有相同渐近线，所以可设所求双曲线的方程为由于点,在双曲线上，所以有所以故所求双曲线方程为答案规律方法求双曲线方程的关键是确定，的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题若已知双曲线的渐近线方程为，可设双曲线系方程为与双曲线共渐近线的双曲线系方程为互动探究年广东已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则双曲线的方程是解析因为，所以，故选考点双曲线的几何性质答案例年新课标Ⅰ已知双曲线的离心率为，则解析双曲线的离心率为，解得答案年新课标Ⅰ已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为解析，设