1、理推证出来的，而公理是不需要证明的答案辽宁改编已知，表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是填序号若，，则若⊥，⊂，则⊥若⊥，⊥，则若，⊥，则⊥解析方法若，，则，可能平行相交或异面，错若⊥，⊂，则⊥，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任直线，正确若⊥，⊥，则或⊂，错若，⊥，则与可能相交，可能平行，也可能⊂，错方法二如图，在正方体中，用平面表示中，若为，为，满足，，但与是相交直线，故错中，⊥，⊂，满足⊥，这是线面垂直的性质，故正确中，若为，为，满足⊥，⊥，但⊂，故错中，若为，为，满足，⊥，但，故错答案设四面体的六条棱的长分别为和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是解析此题相当于个正方形沿着对角线折成个四面体，长为的棱长定大于且小于，四棱锥的所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，则与所成角的余弦值为解析。

2、思维点拨解析思维升华取中点，利用三角形中位线的性质作出所求角题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小思维点拨解析思维升华解取的中点，连结，题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小则綊，綊，思维点拨解析思维升华由知，或它的补角为与所成的角，或它的补角为与所成的角与所成的角为，或题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小思维点拨解析思维升华由知为等腰三角形，当时，当时，故与所成的角为或题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小思维点拨解析思维升华求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法般有三种类型利用图中已有的平行。

3、线是异面直线反证法证明两线不可能平行相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面方法与技巧求两条异面直线所成角的大小，般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中条直线上线面的端点或中点利用三角形求解失误与防范正确理解异面直线“不同在任何个平面内”的含义，不要理解成“不在同个平面内”不共线的三点确定个平面，定不能丢掉“不共线”条件两条异面直线所成角的范围是，安徽改编在下列命题中，不是公理的是平行于同个平面的两个平面相互平行过不在同条直线上的三点，有且只有个平面如果条直线上的两点在个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们有且只有条过该点的公共直线解析命题是面面平行的性质定理，是由。

4、的中点，则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号空间中两直线位置关系的判定，主要是异面平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法对于平行直线，可利用三角形梯形中位线的性质公理及线面平行与面面平行的性质定理对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决跟踪训练如图，已知不共面的三条直线相交于点，，，，，求证与是异面直线证明方法假设和共面，所确定的平面为，那么点都在平面内，直线都在平面内，与已知条件不共面矛盾，假设不成立，跟踪训练如图，已知不共面的三条直线相交于点，，，，，求证与是异面直线和是异面直线方法二直接证法∩，它们确定个平面，设为，由已知∉平面，平面，⊄平面，⊂平面，∉，和是异面直线题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小思维点拨解析思维升华。

5、面可能垂直，如图所示解析思维点拨温馨提醒对于，平面可能垂直，如图所示对于，由⊥，可得⊥，因为，所以过作平面，且∩，如图所示，所以与交线平行，因为⊥，所以⊥答案解析思维点拨温馨提醒构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误对于线面面面平行垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断方法与技巧主要题型的解题方法要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定个平面，再证其余直线或点也在这个平面内即“纳入法”要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理可知这些点在交线上，因此共线方法与技巧判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理平面外点与平面内点的连线和平面内不经过点的。

6、因为四边形为正方形，故，则与所成的角即为与所成的角，即为在内，利用余弦定理可知设表示个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是，⇒⊂∩，⊂⇒⊂，⊂，，⇒⊂∩，，⇒解析当∩时，，，但⊄，错∩时，错如图，，，∉，由直线与点确定唯平面，又，由与确定唯平面，但经过直线与点，与重合，⊂，故正确两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案如图所示，平面两两相交，为三条交线，且，则与，与的位置关系是解析，⊂，⊄，又⊂，∩，江西改编如图，正方体的底面与正四面体的底面在同平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为那么解析取的中点，连结，在四面体中，⊥，⊥，所以⊥平面，所以⊥平面，所以正方体的左右两个侧面与平行，其余个平面与相交，即又因为与在同平面内，所以与正方体下底面共面，与上底面。

7、平移利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移补形平移题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小思维点拨解析思维升华求异面直线所成的角的三步曲即“作二证三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点中点等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解题型三求两条异面直线所成的角例空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小跟踪训练大纲全国改编已知正四面体各面均为正三角形中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为解析画出正四面体的直观图，如图所示设其棱长为，取的中点，连结，设的中点为，连结，跟踪训练大纲全国改编已知正四面体各面均为正三角形中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为则，则就是异面直。

8、四边形，又，⊂平面，则平面，平面∩平面，即三点共线如图所示，等腰直角三角形中，⊥，⊥，若，且为的中点求异面直线与所成角的余弦值解取的中点，连结在中，分别是的中点，或其补角即为异面直线与所成的角在中，在中，在中，在等腰三角形中，异面直线与所成角的余弦值为空间点直线平面之间的位置关系第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分四个公理公理如果条直线上的在个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的公理经过的三点，有且只有个平面条直线两点不在同条直线上推论经过条直线和有且只有个平面推论经过，有且只有个平面推论经过，有且只有个平面公理平行于同条直线的两条直线互相这条直线外的点两条相交直线两。

9、与所成的角为等边三角形，则⊥，易得，跟踪训练大纲全国改编已知正四面体各面均为正三角形中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为同理可得，故因为，所以⊥又，跟踪训练大纲全国改编已知正四面体各面均为正三角形中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为所以直三棱柱中，若则异面直线与所成角的大小为解析如图，可补成个正方体，与所成角的大小为又易知为正三角形，即间线面位置关系解析思维点拨温馨提醒典例已知，是两条不同的直线为两个不同的平面，有下列四个命题若⊥，⊥，⊥，则⊥若，，⊥，则若⊥，，⊥，则若⊥，，，则⊥其中所有正确的命题是构造个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析思维点拨温馨提醒解析思维点拨温馨提醒解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图所示，故正确对于，平。

10、已知，可得为直角三角形，以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线若点共面，点共面，则点共面若直线共面，直线共面，则直线共面依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是解析中显然是正确的中若三点共线，则五点不定共面构造长方体或正方体，如图显然异面，故不正确中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确答案如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，与平行与为异面直线与成角与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是解析还原成正四面体知与为异面直线，与为异面直线，与成角，⊥答案已知正方体中，分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为解析如图，连结，则，即为异面直线与所成的角设正方体棱长为，则，答案如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点求证三点共线证明连结则∩，綊，四边形为平行。

11、平行直线平行直线与直线的位置关系位置关系的分类共面直线异面直线不同在个平面内平行相交任何，没有公共点异面直线所成的角定义设，是两条异面直线，经过空间任点作直线，，把与所成的叫做异面直线，所成的角或夹角范围，锐角或直角直线与平面的位置关系有三种情况平面与平面的位置关系有两种情况定理如果个角的两边和另个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等过平面内点与平面外点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线平行相交在平面内平行相交思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”如果两个不重合的平面，有条公共直线，就说平面，相交，并记作∩两个平面，有个公共点，就说，相交于过点的任意条直线两个平面，有个公共点，就说，相交于点，并记作∩两个平面与相交于线段经过两条相交直线，有且只。

12、行，与其余四个面相交，即，所以答案若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有对解析正方体如图，若要出现所成角为的异面直线，则直线为面对角线，以为例，与之构成黄金异面直线对的直线有条，分别是正方体的面对角线有条，所以所求的黄金异面直线对共有对如图，空间四边形中，分别在上，且满足∶∶∶，∶∶，过的平面交于点求∶解，，平面，而⊂平面，平面∩平面，，∶∶求证三线共点证明，且，四边形为梯形令∩，则，而⊂平面，又，⊂平面，平面∩平面，三线共点如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，⊥底面为的中点求四棱锥的体积解由已知可求得，正方形的面积，所以，四棱锥的体积求异面直线与所成角的正切值的大小解连结，设线段的中点为，连结则为异面直线与所成的角或其补角，。

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