线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程思维点拨解析思维升华题型三直线方程的综合应用例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程题型三直线方程的综合应用先设出所在的直线方程，再求出，两点的坐标，表示出的面积，然后利用相关的数学知识求最值思维点拨解析思维升华例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程题型三直线方程的综合应用解方法设直线方程为，点,代入得，得，从而，当且仅当时等号成立，这时，从而所求直线方程为思维点拨解析思维升华例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程题型三直线方程的综合应用方法二依题意知，直线的斜率存在且则直线的方程为，且有思维点拨解析思维升华例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程题型三直线方程的综合应用当且仅当，即时，等号成立即的面积的最小值为故所求直线的方程为思维点拨解析思维升华例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程题型三直线方程的综合应用直线方程综合问题的两大类型及解法与函数相结合的问题解决这类问题，般是利用直线方程中的，的关系，将问题转化为关于或的函数，借助函数的性质解决与方程不等式相结合的问题般是利用方程不等式的有关知识如方程解的个数根的存在性问题，不等式的性质基本不等式等来解决思维点拨解析思维升华跟踪训练已知直线证明直线过定点令解得证明直线的方程是，无论取何值，直线总经过定点,若直线不经过第四象限，求的取值范围解由方程知，当时直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得当时，直线为，符合题意，故若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程解由的方程，得,依题意得，解得，成立的条件是且，即此时直线的方程为典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错分析规范解答温馨提醒易错警示系列求直线方程忽视零截距致误典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误本题易错点为求直线方程时，漏掉直线过原点的情况易错分析规范解答温馨提醒典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误解当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零方程即为分当直线不经过原点时，截距存在且均不为易错分析规范解答温馨提醒典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误，即，方程即为综为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误本题易错点为求直线方程时，漏掉直线过原点的情况易错分析规范解答温馨提醒典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误解当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零方程即为分当直线不经过原点时，截距存在且均不为易错分析规范解答温馨提醒典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误，即，方程即为综上可知，直线方程为或易错分析规范解答温馨提醒分典例分设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程易错警示系列求直线方程忽视零截距致误在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解易错分析规范解答温馨提醒若不经过第二象限，求实数的取值范围易错分析规范解答温馨提醒若不经过第二象限，求实数的取值范围本题易错点为求直线方程时，漏掉直线过原点的情况易错分析规范解答温馨提醒若不经过第二象限，求实数的取值范围解将的方程化为，，或分综上可知的取值范围是分易错分析规范解答温馨提醒若不经过第二象限，求实数的取值范围常见的与截距问题有关的易错点有“截距互为相反数”“截距是另截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用易错分析规范解答温馨提醒方法与技巧直线的倾斜角和斜率的关系任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率直线的倾斜角和斜率之间的对应法则不存在失误与防范与直线方程的适用条件截距斜率有关问题的注意点明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于轴的直线两点式方程不能表示垂直于轴的直线截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线失误与防范截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论如图中的直线的斜率分别为，则的大小关系为用“，所以，因此直线的倾斜角是解析，直线的倾斜角的取值范围是解析直线的斜率，则倾斜角的范围是，，两条直线和在同直角坐标系中的图象可以是解析化为截距式，假定，判断确定的位置，知符合答案已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为解析直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所求直线的倾斜角为若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是解析当时当时，，直线的倾斜角大于，则的取值范围是解析当时，直线的倾斜角为，符合要求当时，直线的斜率为，只要或即可，解得综上可知，实数的取值范围是，，答案，，若，且，三点共线，则的最小值为解析根据确定直线的方程为，又，在该直线上，故，所以又，故根据基本不等式，从而舍去或，故，当且仅当时取等号即的最小值为答案已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，分别求满足下列条件的直线的方程过定点解设直线的方程是，它在轴，轴上的截距分别是由已知，得，解得或故直线的方程为或斜率为解设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，由已知，得直线的方程为或解由题意可得如图，射线分别与轴正半轴成和角，过点,作直线分别交于两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程所以直线，设所以的中点由点在上，且三点共线得解得，所以，又所以，所以，即直线的方程为若直线过点则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为解析直线过点，即，，当且仅当时上式等号成立直线在轴，轴上的截距之和的最小值为答案过点,且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线共有条解析设过点,且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的斜率为，则有直线的方程为，即，它与坐标轴的交点分别为，，再由，可得，即,解得，或或，故满足条件的直线有条答案若直线与直线关于点,对称，则直线恒过定点解析直线恒过定点定点关于点,对称的点为,又直线与直线关于点,对称，故直线恒过定点已知直线上动点则的最大值是解析直线的方程为，设则，即当点坐标为，时，取最大值设点直线与线段相交，则的取值范围是解析为直线在轴上的截距，如图，当直线过点,和点,时分别取得最小值和最大值的取值范围是如图，在中，已知且边的中点在轴上，的中点在轴上，求这个三角形三边所在直线的方程解设又是的中点，是的中点，点坐标为由直线方程的两点式得边所在直线方程为，整理得边所在直线方程为，整理得边所在直线方程为，整理得直线的方程数学苏理第九章平面解析几何基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分直线的倾斜角定义当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线之间所成的角叫做直线的倾斜角当直线与轴时，规定它的倾斜角为范围直线倾斜角的范围是向上方向平行或重合，斜率公式若直线的倾斜角，则斜率，在直线上，且，则的斜率直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线般式平面直角坐标系内的直线都适用，线段的中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为则，此公式为线段的中点坐标公式思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置坐标平面内的任何条直线均有倾斜角与斜率直线的倾斜角越大，其斜率就越大直线的斜率为，则其倾斜角为斜率相等的两直线的倾斜角不定相等经过定点，的直线都可以用方程表示不经过原点的直线都可以用表示经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示题号答案解析，，或直线的斜率又，，若的倾斜角为，则思维点拨解析答案思维升华例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率注意倾斜角是锐角还是钝角思维点拨解析答案思维升华例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率如图所示，结合图形为使与线段总有公共点，则，而，时，为锐角又，思维点拨解析答案思维升华例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率，又当时当时故倾斜角的取值范围为，，思维点拨解析答案思维升华例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率，思维点拨解析答案思维升华例经过，作直线，若直线与连结,的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，题型直线的倾斜角与斜率，直线倾斜角的范围是而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与，两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当，时，斜率，当时，斜率不存在当，时，斜率，思维点拨解析答案思维升华跟踪训练若直线与直线，分别交于点且线段的中点坐标为则直线的斜率为解析依题意，设点则有，解得从而可知直线的斜率为直线的倾斜角的范围是解析由得直线斜率，设直线的倾斜角为，则结合正切函数在，，上的图象可知，或答案，，题型二求直线的方程例根据所给条件求直线的方程直线过点倾斜角的正弦值为