型三圆的切线的判定与性质解析思维升华解取的中点，连结平分，又，，解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，判断直线与的外接圆的位置关系题型三圆的切线的判定与性质，，⊥，直线是的外接圆的切线，即直线与的外接圆相切题型三圆的切线的判定与性质解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，判断直线与的外接圆的位置关系题型三圆的切线的判定与性质证明直线是圆的切线的方法若已知直线经过圆上点或已知直线与圆有公共点，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径如果已知条件中直线与圆的公共点不明确或没有公共点，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，判断直线与的外接圆的位置关系例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，求的长解析思维升华解设的外接圆的半径为在中即，解得解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，求的长，解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，求的长证明直线是圆的切线的方法若已知直线经过圆上点或已知直线与圆有公共点，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径如果已知条件中直线与圆的公共点不明确或没有公共点，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径解析思维升华例如图，在中，，平分交于点，点在上，⊥，且，求的长跟踪训练广东改编如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于若求的长解为中点，且⊥，故为等腰三角形，所以，又，跟踪训练广东改编如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于若求的长所以在中，例课标全国Ⅱ如图，是外点，是切线，为切点，割线与相交于点，为的中点，的延长线交于点证明题型四与圆有关的比例线段解析思维升华证明连结，由题设知，故因为，例课标全国Ⅱ如图，是外点，是切线，为切点，割线与相交于点，为的中点，的延长线交于点证明题型四与圆有关的比例线段解析思维为等腰三角形，则，，，跟踪训练如图，的半径垂直于直径，为上点，的延长线交于，过点的切线交的延长线于求证，根据切割线定理，有跟踪训练如图，的半径垂直于直径，为上点，的延长线交于，过点的切线交的延长线于若的半径为求的长解，在中，延长交于点，连结由条件易知，于是，跟踪训练如图，的半径垂直于直径，为上点，的延长线交于，过点的切线交的延长线于若的半径为求的长即，答题模板系列与圆有关的几何证明问题典例分如图分别为边，的中点，直线交的外接圆于，两点若，证明温馨提醒规范解答思维点拨思维点拨温馨提醒规范解答连结，利用平行关系构造平行四边形可得结论证明因为，分别为，的中点，所以又已知，故四边形是平行四边形，所以而，连结，所以四边形是平行四边形，故因为，所以，故分分思维点拨温馨提醒规范解答解决几何证明问题需用各种判定定理性质定理推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行垂直相似全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明思维点拨温馨提醒规范解答弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件思维点拨温馨提醒规范解答规范解答思维点拨答题模板温馨提醒先证和为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可规范解答思维点拨答题模板温馨提醒证明因为，故由可知，所以，所以由知，又因为，所以分分规范解答思维点拨答题模板温馨提醒处理与圆有关的比例线段的常见思路利用圆的有关定理利用相似三角形利用平行线分线段成比例定理及推论利用面积关系等规范解答思维点拨答题模板温馨提醒解决几何证明问题需用各种判定定理性质定理推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行垂直相似全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明规范解答思维点拨答题模板温馨提醒弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件规范解答思维点拨答题模板温馨提醒方法与技巧证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换圆幂定理与圆周角弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用失误与防范在应用平行截割定理时，定要注意对应线段成比例在解决相似三角形时，定要注意对应角和对应边，否则容易出错如图，中，⊥于点，⊥于点，和相交于点，求证证明⊥于点，⊥于点，又，如图，中，⊥于点，⊥于点，和相交于点，求证证明由得，又，如图，中，，⊥交于点，若是的中点，的延长线交的延长线于，求证证明是斜边的中点，，又，又⊥且，，，又，因此江苏如图，是圆的直径是圆上位于异侧的两点证明证明因为，是圆上的两点，所以故又因为，是圆上位于异侧的两点，故，为同弧所对的两个圆周角，所以因此江苏如图，和分别与圆相切于点经过圆心，且求证证明连结因为和分别与圆相切于点所以又因为，所以所以又，故如图所示，平行四边形中，是延长线上的点，与交于点，求证证明四边形是平行四边形，，若的面积为，求平行四边形的面积解四边形是平行四边形，，，，四边形四边形四边形课标全国Ⅰ如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且证明证明由题设知四点共圆，所以，由已知得，故设不是的直径，的中点为，且，证明为等边三角形证明如图，设的中点为，连结，则由知⊥，故在直线上又不是的直径，为的中点，故⊥，即⊥所以，故又，故，由知，，所以为等边三角形如图所示，在中，，是的中点，⊥，垂足是，求证证明，又是的中点，又，，如图所示，在中，为边上的中线，为上任意点，交于点求证证明过点作的平行线交于点，交于点在中，是的中点，，，，又即辽宁如图，为的直径，直线与相切于，垂直于，垂直于，垂直于，连结，证明证明由直线与相切，得由为的直径，得⊥，从而又⊥，得，从而故证明由⊥，⊥，，是公共边，得≌，所以同理可证，得又在中，⊥，故，所以辽宁如图，交圆于，两点，切圆于，为上点且，连结并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为求证为圆的直径证明因为，所以由于为切线，故又由于，故，所以，从而由于⊥，所以，于是，故是直径若，求证证明连结，因为，所以，所以，又因为，所以，所以又因为⊥，所以⊥，即为直角于是为直径由得也是直径所以数学苏理几何证明选讲第十四章系列选讲基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分平行截割定理平行线等分线段定理如果组在条直线上截得的线段，那么在任条与这组平行线相交的直线上截得的线段也平行线分线段成比例定理两条直线与组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成平行线相等相等比例相似三角形的判定与性质相似三角形的判定定理两角对应的两个三角形两边对应成且夹角的两个三角形三边对应成的两个三角形相等相似比例相等相似比例相似相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于相似三角形周长的比等于相似三角形面积的比等于相似比相似比相似比的平方直角三角形射影定理直角三角形条直角边的平方等于，斜边上的高的平方等于圆中有关的定理圆周角定理圆周角的度数等于其所对弧的度数的圆心角定理圆心角的度数等于的度数该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积两条直角边在斜边上的射影的乘积半它所对弧切线的判定与性质定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线于经过切点的半径切线长定理从圆外点引圆的两条切线，切线长垂直垂直相等弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积割线定理从圆外点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积半相等相等切割线定理从圆外点引圆的条割线与条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形判定定理ⅰ如果四边形的对角，则此四边形内接于圆ⅱ如果四边形的个外角它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆等比中项互补等于圆内接四边形性质定理ⅰ圆内接四边形的对角ⅱ圆内接四边形的外角它的内角的对角互补等于题号答案解析在平行四边形中，因为，所以，故因为，所以，所以例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点求证题型相似三角形的判定及性质解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点求证题型相似三角形的判定及性质证明⊥，是边上的中点，又，，解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点求证题型相似三角形的判定及性质三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法般的思考程序先找两对内角对应相等若只有个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例若无角对应相等，就要证明三边对应成比例解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点求证题型相似三角形的判定及性质解析思维升华证明等积式的般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点若求的长解析思维升华解过点作⊥，垂足为点，例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点若求的长解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点若求的长，又又，解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点若求的长解得，又，解得解析思维升华例如图，已知在中，点是边上的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点若求的长解析思维升华三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法般的思考程序先找两对内角对应相等若只有个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例若无角对应相等，就要证明三边对应成比例证明等积