的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，在归纳假设后，可采用分析法综合法求差求商比较法放缩法等证明例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华跟踪训练陕西设函数，其中是的导函数令，求的表达式解由题设得，由已知„，可猜想下面用数学归纳法证明当时结论成立假设时结论成立，即那么，当时，，即结论成立由可知，结论对成立若恒成立，求实数的取值范围解已知恒成立，即恒成立设，则，当时，仅当，时等号成立，在，上单调递增又，在，上恒成立，时，恒成立仅当时等号成立当时，对，有，在，上单调递减即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是，设，比较„与的大小，并加以证明解由题设知„„比较结果为„证明如下方法上述不等式等价于„，在中取，可得令，，则下面用数学归纳法证明当时，结论成立假设当时结论成立，即„那么，当时，„令，，则故有，„，上述各式相加可得„，结论得证例已知数列的前项和满足，且，求，并猜想的通项公式题型三归纳猜想证明思维点拨解析思维升华通过计算寻求规律猜想的通项公式，然后用数学归纳法证明例已知数列的前项和满足，且，求，并猜想的通项公式题型三归纳猜想证明思维点拨解析思维升华解当时，由已知得当时，由已知得，例已知数列的前项和满足，且，求，并猜想的通项公式题型三归纳猜想证明思维点拨解析思维升华将代入并整理得同理可得猜想例已知数列的前项和满足，且，求，并猜想的通项公式题型三归纳猜想证明思维点拨解析思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数有关的未知问题存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性例已知数列的前项和满足，且，求，并猜想的通项公式题型三归纳猜想证明思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华例已知数列的前项和满足，且，证明通项公式的正确性通过计算寻求规律猜想的通项公式，然后用数学归纳法证明例已知数列的前项和满足，且，证明通项公式的正确性思维点拨解析思维升华证明由知，当时，通项公式成立即假设当，时，通项公式成立，由，例已知数列的前项和满足，且，证明通项公式的正确性思维点拨解析思维升华将代入上式并整理得，解得即当时，通项公式也成立例已知数列，由此猜想分规范解答思维点拨温馨提醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难证明到这步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题规范解答思维点拨温馨提醒用数学归纳法证明中的猜想规范解答思维点拨答题模板温馨提醒用数学归纳法证明规范解答思维点拨答题模板温馨提醒证明当时结论成立分假设时，结论成立，即，分那么时规范解答思维点拨答题模板温馨提醒分分这表明时，结论成立由知猜想成立规范解答思维点拨答题模板温馨提醒归纳猜想证明问题的般步骤第步计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或般结论第二步验证般结论对第个值成立第三步假设时结论成立，证明当时结论也成立第四步下结论，由上可知结论对任意，成立规范解答思维点拨答题模板温馨提醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难证明到这步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题规范解答思维点拨答题模板温馨提醒方法与技巧数学归纳法的两个步骤相互依存，缺不可有无二，是不完全归纳法，结论不定可靠有二无，第二步就失去了递推的基础归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点归纳假设就是已知条件在推证时，必须用上归纳假设方法与技巧利用归纳假设的技巧在推证时，可以通过凑拆配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握与之间的关系在推证时，分析法综合法反证法等方法都可以应用失误与防范数学归纳法证题时初始值不定是推证时定要用上时的假设，否则不是数学归纳法用数学归纳法证明，的第个取值应是解析时不成立时不成立时成立的第个取值应是如果命题对成立，则它对也成立若对也成立，则下列结论正确的是对所有正整数都成立对所有正偶数都成立对所有正奇数都成立对所有自然数都成立解析时成立，为，„所有正偶数对于不等式，同学用数学归纳法证明的过程如下当时，不等式成立假设当时，不等式成立，即，则当时，解析在时，没有应用时的假设，不是数学归纳法当时，不等式成立，则上述证法过程全部正确验得不正确归纳假设不正确从到的推理不正确用数学归纳法证明“„”，在验证时，左端计算所得的项为已知„，则中共有项，解析从到共有个数，所以中共有项设数列的前项和为，且对任意的自然数都有，通过计算，猜想解析由，得，由，得，依次得猜想用数学归纳法证明不等式„，的过程中，若设„，则与的关系是解析„„设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同点若用表示这条直线交点的个数，则当时，用表示解析„„用数学归纳法证明等式„证明当时，左边，右边，原等式成立假设时，等式成立，即有„那么，当时，则有„时，等式也成立，由知对任意有„已知数列，求证当时证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，则由，得，即当时也成立，根据和，可知对任何都成立设是定义在正整数集上的函数，且满足“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是若成立，则成立若成立，则成立若成立，则当时，均有成立若成立，则当时，均有成立答案解析成立时，成立，时，有„，成立用数学归纳法证明不等式„成立，其初始值至少应取解析左边„，由，得，的最小值是用数学归纳法证明„，则当时左端应在的基础上加上解析等式左边是从开始的连续自然数的和，直到故时，最后项是，而时，最后项是，应加上„„已知„当时，试比较与的大小解当时，所以当时，所以当时，所以猜想与的大小关系，并给出证明解由，猜想，下面用数学归纳法给出证明当时，不等式显然成立，假设当，时不等式成立，即„那么，当时，因为，所以由可知，对切，都有成立若不等式„对切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论解当时，即，所以而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明„即„当时，已证得不等式成立假设当时，不等式成立，则当时，有„„因为，所以当时不等式也成立由知，对切正整数，都有„，所以的最大值等于数学苏理数学归纳法第十三章推理与证明算法复数基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分数学归纳法证明个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行归纳奠基证明当取时结论成立归纳递推假设，时结论成立，证明当时结论也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立第个值思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”用数学归纳法证明问题时，第步是验证当时结论成立所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由到时，项数都增加了项用数学归纳法证明等式“„”，验证时，左边式子应为用数学归纳法证明凸边形的内角和公式时，题号答案解析„„„，„，„例求证„„题型用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华从变到，左边增乘了例求证„„题型用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华证明当时，等式左边，右边，故等式成立假设当时等式成立，即„„，例求证„„题型用数学归纳法证明等式那么当时，思维点拨解析思维升华左边„„„„，例求证„„题型用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华这就是说当时等式也成立由可知，对所有等式成立例求证„„题型用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意明确初始值的取值并验证时等式成立由证明时，弄清左边增加的项，且明确变形目标掌握恒等变形常用的方法因式分解添拆项配方法例求证„„题型用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华跟踪训练用数学归纳法证明„证明当时，左边，右边，左边右边，等式成立假设时，等式成立即„，当时，左边„，右边，左边右边，等式成立即对所有，原式都成立题型二用数学归纳法证明不等式例已知函数的最大值不大于，又当，时，求的值解析思维点拨利用题中条件分别确定的范围进而求题型二用数学归纳法证明不等式例已知函数的最大值不大于，又当，时，求的值解析思维点拨解由题意，知又，所以所以题型二用数学归纳法证明不等式例已知函数的最大值不大于，又当，时，求的值解析思维点拨题型二用数学归纳法证明不等式例已知函数的最大值不大于，又当，时，求的值又，时所以，，即解得又因为，所以解析思维点拨思维点拨解析思维升华例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明利用数学归纳法证明例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华证明用数学归纳法证明当时显然结论成立因为当，时，所以例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华假设当时，不等式成立故时，原不等式也成立因为的对称轴为直线，例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华所以当，时，为增函数所以由，得例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华于是例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华根据，知对任何，不等式成立所以当时，原不等式也成立例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，在归纳假设后，可采用分析法综合法求差求商比较法放缩法等证明例已知函数的最大值不大于，又当，时，设，证明思维点拨解析思维升华跟踪训练陕西设函数，其中是的导函数令，求的表达式解由题设得，由已知„，可猜想下面用数学归纳法证明当时结论成立假设时结论成立，即那么，当时，，即结论成立由可知，结论对成立若恒成立，求实数的取值范围解已知恒成立，即恒成立设，则，当时，仅当，时等号成立，在，上单调递增又，在，上恒成立，时，恒成立仅当时等号成立当时，对，有，在，上单调递减即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是，设，比较„与