要条件答案题型二由方程研究曲线栏目链接例下列方程分别表示什么曲线解析由方程可得，或即或故方程表示条射线和条直线栏目链接对方程左边配方得因为所以解得从而方程表示的图形是个点，规律方法判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有配方法因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程等式的性质作出准确判定方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常需作分类讨论栏目链接►变式训练判断下列方程分别表示什么曲线，并说明理由解析原方程化为，或因此，原方程表示和两条直线由，得所以，或，因此，原方程表示两个点，和，题型三曲线与方程关系的应用栏目链接例若曲线过点，求实数的取值范围解析因为曲线过点所以，所以，所以，即的取值范围是，栏目链接规律方法判断点是否在个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上若不适合，就说明点不在曲线上已知点在曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题栏目链接►变式训练方程所表示的曲线是，若点，与点，在曲线上，故坐标满足方程，反之若点坐标满足方程，则必在曲线上，故是充要条件答案题型二由方程研究曲线栏目链接例下列方程分别表示什么曲线解析由方程可得，或即或故方程表示条射线和条直线栏目链接对方程左边配方得因为所以解得从而方程表示的图形是个点，规律方法判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有配方法因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程等式的性质作出准确判定方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常需作分类讨论栏目链接►变式训练判断下列方程分别表示什么曲线，并说明理由解析原方程化为，或因此，原方程表示和两条直线由，得所以，或，因此，原方程表示两个点，和，题型三曲线与方程关系的应用栏目链接例若曲线过点，求实数的取值范围解析因为曲线过点所以，所以，所以，即的取值范围是，栏目链接规律方法判断点是否在个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上若不适合，就说明点不在曲线上已知点在曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题栏目链接►变式训练方程所表示的曲线是，若点，与点，在曲线上，求，的值解析因为，与点，在曲线上，所以，即解得栏目链接析疑难提能力栏目链接方程变形中不是恒等变形致误典例衡水高二检测方程表示的曲线是个圆和条直线半个圆和条直线个圆和两条射线个圆和条线段解析方程变形为或前者表示以原点为圆心，为半径的圆，后者表示直线在圆外面的两条射线答案易错剖析容易错选，将方程转化变形时忽略了根式应有意义曲线的方程与方程的曲线栏目链接了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的对应关系会判定个点是否在已知曲线上栏目链接研题型学习法题型对曲线的方程和方程的曲线概念的理解栏目链接例分析下列曲线上的点与相应方程的关系过点，平行于轴的直线与方程之间的关系到两坐标轴的距离的积等于的点与方程之间的关系第二四象限角平分线上的点与方程之间的关系解析过点，平行于轴的直线上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解为坐标的点不定都在过点，且平行于轴的直线上因此不是过点，平行于轴的直线的方程栏目链接到两坐标轴的距离的积等于的点的坐标不定满足方程，但以方程的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积定等于因此到两坐标轴的距离的积等于的点的轨迹方程不是第二四象限角平分线上的点的坐标都满足，反之，以方程的解为坐标的点都在第二四象限角平分线上，因此第二四象限角平分线上的点的轨迹方程是栏目链接规律方法分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺不可两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化栏目链接►变式训练“点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析点在曲线上，故坐标满足方程，反之若点坐标满足方程，则必在曲线上，故是充要条件答案题型二由方程研究曲线栏目链接例下列方程分别表示什么曲线解析由方程可得，或即或故方程表示条射线和条直线栏目链接对方程左边配方得因为所以解得从而方程表示的图形是个点，规律方法判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有配方法因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程等式的性质作出准确判定方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常需作分类讨论栏目链接►变式训练判断下列方程分别表示什么曲线，并说明理由解析原方程化为，或因此，原方程表示和两条直线由，得所以，或