【三维设计】2015-2016学年高中数学2.2.2反证法课件新人教A版选修1-2

，求证证明假设因为，所以，即，所以则，这与已知条件矛盾故假设不成立，所以用反证法证明唯性命题例已知点和平面求证经过点只能有条直线和平面垂直证明根据点和平面的位置关系，分两种情况证明如图，点在平面内，假设经过点至少有平面的两条垂线那么，是两条相交直线，它们确定个平面，平面和平面相交于经过点的条直线因为⊥平面，⊥平面，⊂，所以⊥，⊥，在平面内经过点有两条直线都和直线垂直，这与平面几何中经过直线上点只能有已知直线的条垂线相矛盾如图，点在平面外，假设经过点至少有平面的两条垂线为垂足，那么，是两条相交直线，它们确定个平面，平面和平面相交于直线，因为⊥平面，⊥平面，⊂，所以⊥，⊥在平面内经过点有两条直线都和垂直，这与平面几何中经过直线外点只能有已知直线的条垂线相矛盾综上，经过点只能有平面的条垂线类题通法用反证法证明唯性命题的适用类型当证明结论是“有且只有”“只有个”“唯”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯性比较简单证明“有且只有个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯性问题两个方面活学活用用反证法证明过已知直线外点有且只有条直线与已知直线平行证明由两条直线平行的定义可知，过点至少有条直线与直线平行假设过点还有条直线与已知直线平行，即∩，因为，由平行公理知这与假设∩矛盾，所以假设错误，原命题成立用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题例已知，求证，中至少有个数大于证明假设，均不大于，即则，这与已知矛盾，故假设错误所以，中至少有个数大于类题通法常见“结论词”与“反设词”原结论词至少有个至多有个至少有个至多有个反设词个也没有不存在至少有两个至多有个至少有个原结论词只有个对所有成立对任意不成立反设词没有或至少有两个存在个不成立存在个成立原结论词都是定是或以，中至少有个数大于类题通法常见“结论词”与“反设词”原结论词至少有个至多有个至少有个至多有个反设词个也没有不存在至少有两个至多有个至少有个原结论词只有个对所有成立对任意不成立反设词没有或至少有两个存在个不成立存在个成立原结论词都是定是或且反设词不都是不定是綈且綈綈或綈活学活用已知函数在区间，上是增函数求证函数在区间，上至多有个零点证明假设函数在区间，上至少有两个零点，设，为函数在区间，上的两个零点，且，则因为函数在区间，上为增函数，且与矛盾，假设不成立，故原命题正确反证法的应用典例分如图，已知两个正方形和不在同平面内分别为，的中点用反证法证明直线与是两条异面直线解题流程证明直线与是异面直线，可假设与共面，并推出矛盾四边形与都是正方形，所以⊄平面，平面假设与共面由平面得由，得得出矛盾，问题得证规范解答假设与共面，则⊂平面，名师批注利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以与共面为条件证明此处极易忽视，造成解题错误且平面与平面交于由已知两正方形不共面，故⊄平面分又，所以平面，而为平面与平面的交线，极易忽视此条件，直接由平面得出而失分所以分又，所以，这与∩矛盾，故假设不成立，所以与不共面，它们是异面直线分必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确活学活用设直线其中实数，满足，证明与相交证明假设直线与不相交，则与平行，由直线与的方程可知实数，分别为两直线的斜率，则有，代入，消去，得，无实数解，这与已知为实数矛盾，所以，即与相交随堂即时演练应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用结论的反设已知条件定义公理定理等原结论解析除原结论不能作为推理条件外其余均可答案用反证法证明命题“，，如果可被整除，那么，至少有个能被整除”，则假设的内容是，都能被整除，都不能被整除不能被整除，有个不能被整除答案解析用反证法只否定结论即可，而“至少有个”的反面是“个也没有”，故正确下列命题适合用反证法证明的是已知函数，证明方程没有负实数根若，，且，求证和中至少有个小于关于的方程的解是唯的同平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析是“否定”型命题是“至少”型命题是“唯”型命题，且题中条件较少中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案已知平面∩平面直线，直线⊂，直线⊂，∩，，求证与是异面直线，若利用反证法证明，则应假设解析空间中两直线的位置关系有种异面平行相交，应假设与平行或相交答案与平行或相交若下列三个方程中至少有个方程有实根，试求实数的取值范围解若三个方程均无实根，则，，⇒，或，⇒设，则∁或，故所求实数的取值范围是或第二章反证法突破常考题型题型题型二题型三跨越高分障碍应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点理解教材新知反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍天，他们发现路边的棵树上结满了李子，小朋友哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子尝，原来是苦的他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢”王戎说“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子定是苦的”问题王戎的论述运用了什么推理思想提示运用了反证法的思想问题反证法解题的实质是什么提示否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确导入新知反证法假设不成立即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与假设矛盾，或与矛盾等原命题假设错误原命题成立已知条件定义公理定理事实化解疑难反证法实质用反证法证明命题“若则”的过程可以用以下框图表示肯定条件，否定结论导致逻辑矛盾“且綈”为假“若则”为真反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是与綈真假性相反，通过证明綈为假命题说明为真命题，证明过程中要出现矛盾逆否命题证明的理论依据是“⇒”与“綈⇒綈”是等价命题，通过明命题“綈⇒綈”为真命题来说明命题“⇒”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定性命题例设函数中，均为整数，且，均为奇数求证无整数根证明假设有整数根，则，而，均为奇数，即为奇数，为偶数，则为奇数，即为奇数，均为奇数，又为偶数，为奇数，即为奇数，为奇数，这与为奇数矛盾无整数根类题通法用反证法证明否定性命题的适用类型般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明反证法的般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定即肯定原命题的过程这个过程包括下面三个步骤反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真归谬由“反设”作为条件，经过系列正确的推理，得出矛盾存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为反设归谬存真活学活用设，，且，求证证明假设因为，所以，即，所以则，这与已知条件矛盾故假设不成立，所以用反证法证明唯性命题例已知点和平面求证经过点只能有条直线和平面垂直证明根据点和平面的位置关系，分两种情况证明如图，点在平面内，假设经过点至少有平面的两条垂线那么，是两条相交直线，它们确定个平面，平面和平面相交于经过点的条直线因为⊥平面，⊥平面，⊂，所以⊥，⊥，在平面内经过点有两条直线都和直线垂直，这与平面几何中经过直线上点只能有已知直线的条垂线相矛盾如图，点在平面外，假设经过点至少有平面的两条垂线为垂足，那么，是两条相交直线，它们确定个平面，平面和平面相交于直线，因为⊥平面，⊥平面，⊂，所以⊥，⊥在平面内经过点有两条直线都和垂直，这与平面几何中经过直线外点只能有已知直线的条垂线相矛盾综上，经过点只能有平面的条垂线类题通法用反证法证明唯性命题的适用类型当证明结论是“有且只有”“只有个”“唯”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯性比较简单证明“有且只有个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯性