关的三角形问题时经常用到，要记准记熟灵活地加以运用栏目链接典例解析题型利用余弦定理解三角形栏目链接例在中，已知，求分析已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角使用余弦定理求角时，般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于，最小角大于，可知三角形无解栏目链接解析由已知则最大由余弦定理，得由正弦定理，得栏目链接，为锐角于是名师点评已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边解三角形栏目链接►变式迁移在中，∶∶∶∶，求最大角解析令，根据三角形中大角对大边，则角为最大角由余弦定理得，最大角栏目链接例已知三角形中，则解析方法利用正弦定理根据正弦定理和已知条件，有有两解锐角或钝角，为或当时，有，于是当时，有，于是，或栏目链接方法二利用余弦定理将代入，有，整理得，解得或答案或栏目链接名师点评已知两边及角解三角形有以下两种情况若已知角是其中边的对角，有两种解法种方法是利用正弦定理先求角，再求边另种方法是用余弦定理列出关于另边的元二次方程求解若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角栏目链接►变式迁移福建，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边解三角形栏目链接►变式迁移在中，∶∶∶∶，求最大角解析令，根据三角形中大角对大边，则角为最大角由余弦定理得，最大角栏目链接例已知三角形中，则解析方法利用正弦定理根据正弦定理和已知条件，有有两解锐角或钝角，为或当时，有，于是当时，有，于是，或栏目链接方法二利用余弦定理将代入，有，整理得，解得或答案或栏目链接名师点评已知两边及角解三角形有以下两种情况若已知角是其中边的对角，有两种解法种方法是利用正弦定理先求角，再求边另种方法是用余弦定理列出关于另边的元二次方程求解若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角栏目链接►变式迁移福建卷如图，中，已知点在边上，⊥，，求的长栏目链接解析，由得由余弦定理得，题型利用余弦定理判断三角形形状栏目链接例在中，已知，且，试判断的形状分析可从问题已知条件出发，寻找三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之解析由，可得，即，故栏目链接又因为，而即又与为三角形内角，故由此可知为等边三角形栏目链接名师点评已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路其化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式两种转化主要应用正弦定理和余弦定理栏目链接►变式迁移陕西卷设的内角所对的边分别为，若，则的形状为锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定栏目链接解析由及正弦定理可得，即，而即是直角三角形题型方程思想的应用栏目链接例如图所示，在中，已知，∶∶求边上的高分析由已知设故要求的长只要求出，中已知三边只需再有个角，根据余弦定理便可求，而用正弦定理正好可求角栏目链接解析在中，设由正弦定理得，舍去，否则由知也为钝角，不合要求再由余弦定理得，栏目链接，或或在中或名师点评比例式的设法是种解题技巧，如∶∶∶∶，可设，这种设法可使运算方便，必须学会栏目链接►变式迁移在中，若边上的中线之长为，求边长栏目链接解析是边上的中线，可设在中，有在中，有，余弦定理栏目链接情景导入前节学习正弦定理，可以解决三角形中的两类问题已知两角及边，求其余边角已知两边和其中边的对角，求其余边角那么在三角形中其他情况下和由三边能否求其余边角由两边和夹角呢栏目链接课标点击栏目链接掌握余弦定理，了解余弦定理的证明方法能利用余弦定理解三角形及测量等有关几何问题栏目链接要点导航知识点余弦定理证明栏目链接教材中利用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理对定理的证明还可通过向量法解析法等栏目链接证法向量法如图即，同理可证，证法二解析法如图，以点为原点，以的边所在直线为轴，以过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由两点间的距离公式得栏目链接即同理可证，栏目链接证法三用正弦定理证明因为所以同理可证，知识点余弦定理及其应用栏目链接内容三角形任何边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍数学表达式第种形式第二种形式变式用途解决两类解三角形问题已知三边，求三角已知两边及其夹角，求第三边和其他两角判断三角形的形状知识点在解三角形问题时，需掌握的三角关系式栏目链接在中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，要记准记熟灵活地加以运用栏目链接典例解析题型利用余弦定理解三角形栏目链接例在中，已知，求分析已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角使用余弦定理求角时，般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于，最小角大于，可知三角形无解栏目链接解析由已知则最大由余弦定理，得由正弦定理，得栏目链接，为锐角于是名师点评已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边解三角形栏目链接►变式迁移在中，∶∶∶∶，求最大角解析令，根据三角形中大角对大边，则角为最大角由余弦定理得，最大角栏目链接例已知三角形中，则解析方法利用正弦