等代数的研究中我们般常用矩阵向量作为研究工具，进而系统地得到从多项式矩阵广义逆矩阵线性空间欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具线性方程组的三种表示般形式的表示向量形式的表示，其中,，,矩阵形式的表示，其中,，,特别地，当时，称为齐次线性方程组，而当时，称为非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的条件有非零解的列向量组线性无关若方程的个数小于未知量的个数，则必有非零解当时，即为方阵时，有非零解齐次线性方程组解的性质若,均为的解向量，则也是的解向量若是的解向量，则对任意的常数,也是的解向量维向量是元齐次线性方程组的解与的每个行向量正交齐次线性方程组解的结构齐次线性方程的组解,称为的个基础解系，满足以下两条方程组的任个解都能表示成,的线性组合,线性无关设,是的组线性无关的解向量，如果的任解向量均可由,线性表出，则称,为的解空间的个基，亦称是的个基础解系此时的解向量可表示为，其中,为任意常数，表示系数矩阵的秩即，此式称为的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的有解判定有解可由的列向量组线性表出向量组,与,组的个基础解系,，于是所求方程组即为而由已知,该方程组的个解，所以，故以下方程组即为所求对增广矩阵,作系列的初等行变换化为行阶梯形,依题意必有,，则必有,，于是或，而又知当时，方程组无解，所以必有,，此时有,由我们知，将,带入矩阵中，便得与原方程组同解的方程组故易得通解为为任意常数例设为的矩阵，为的矩阵，且证明如果，那么如果，那么证明由于，则中必有级子式不为零，设,，这里,是的列向量，不失般性，设则由得我们知，则由得利用第问我们得到即例设,为的矩阵，证明如果，那么令,则故有即齐次线性方程组有组解,设，则,可由个线性无关的向量组线性表示，则即例若已知为的矩阵，且，证明证因为，故，即由乘法秩之间的关系我们得到同时再由加法秩之间的关系，我们得到由，得则命题的证例若,均为的矩阵，证明,证明要证,，我们只要证，同时下面我们证令,表示的行向量,表示的行向量由计算可知的第个分量和的第个分量都等于因而,即矩阵的行向量可经的行向量线性表示所以的秩不能超过的秩，即同样的，令,,这里,表示的列向量表示的列向量有计算可知,这个式子表明，矩阵的列向量组可以经矩阵的列向量组线性表示，因而前者的秩不能超过后者的秩，即故综上所述,参考文献史明仁线性代数证明题详解北京北京科学技术出版社,徐德余高等代数第二版成都四川大学出版社北京大学数学系高等代数北京高等教育出版社,张禾瑞,郝鈵新高等代数第四版北京高等教育出版社,丘维声高等代数北京高等教育出版社,许绍元,陈亮线性代数,赵树嫄线性代数第三版北京中国人民大学出版社,张永怀线性代数西安交通大学出版社杨成线性方程组理论的妙用,目录线性方程组的发展前景及般理论的研究线性方程组的三种表示般形式的表示向量形式的表示矩阵形式的表示齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组非齐次线性方程组的有解判定非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的结构线性方程组理论的三个应用线性方程组般形式的运用线性方程组向量形式的运用线性方程组矩阵形式的运用线性方程组的应用中文摘要线性方程组的应用是现代数学运用中最为广泛的种，为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题，感受数学的魅力通过对线性方程组理论的充分认识和应用范围的广泛研究，我们从以下几个方面入手认清当前线性方程组的发展前景以及介绍线性方程组的般理论的研究通过学习线性方程组的理论知识，掌握线性方程组的般形式的运用，并从其几何应用求解基础解系解般线性方程组以及方程组有无解的判定等几个方面来讲述如何巧妙地运用该理论解决学习生活工作中遇到的实际问题巧妙地研究线性方程组的向量形式的运用，通过列举该理论在线性相关线性相关以及向量组等价等方面的几个示例来充分认识该理论研究线性方程组的矩阵形式的简单灵活运用，通过例题来证明向量组秩之间的些关系，运用矩阵的形式来解决些复杂的问题线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支，很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题，同时线性方程组在工程技术上空间几何和国民经济的许多领域都有着广泛的应用,因此为了能够更好地解决现实中的问题，我们做出了上述的总结，总之线性方程组的应用是门最基本的和最重要的理论应用关键字线性方程组基础解系通解和特解增广矩阵矩阵秩线性方程组的发展前景及般理论的研究线性代数起源于研究线性方程组的过程中，科学家们试图找到般的方法来求得它们的解。线性方程组的理论是线性代数的基础部分，这个理论包括三个方面线性方程组的求解方法线性方程组解的情况的判定线性方程组的解的结构。线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之在高等代数的研究中我们般常用矩阵向量作为研究工具，进而系统地得到从多项式矩阵广义逆矩阵线性空间欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具线性方程组的三种表示般形式的表示向量形式的表示，其中,，,矩阵形式的表示，其中,，,特别地，当时，称为齐次线性方程组，而当时，称为非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的条件有非零解的,线性方程组的发展前景及般理论的研究线性代数起源于研究线性方程组的过程中，科学家们试图找到般的方法来求得它们的解。线性方程组的理论是线性代数的基础部分，这个理论包括三个方面线性方程组的求解方法线性方程组解的情况的判定线性方程组的解的结构。线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之在高等代数的研究中我们般常用矩阵向量作为研究工具，进而系统地得到从多项式矩阵广义逆矩阵线性空间欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具线性方程组的三种表示般形式的表示向量形式的表示，其中,，,矩阵形式的表示，其中,，,特别地，当时，称为齐次线性方程组，而当时，称为非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的条件有非零解的列向量组线性无关若方程的个数小于未知量的个数，则必有非零解当时，即为方阵时，有非零解齐次线性方程组解的性质若,均为的解向量，则也是的解向量若是的解向量，则对任意的常数,也是的解向量维向量是元齐次线性方程组的解与的每个行向量正交齐次线性方程组解的结构齐次线性方程的组解,称为的个基础解系，满足以下两条方程组的任个解都能表示成,的线性组合,线性无关设,是的组线性无关的解向量，如果的任解向量均可由,线性表出，则称,为的解空间的个基，亦称是的个基础解系此时的解向量可表示为，其中,为任意常数，表示系数矩阵的秩即，此式称为的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的有解判定有解可由的列向量组线性表出向量组,与,