概念例下列说法向量和向量长度相等方向不同的两个向量定不平行向量是有向线段向量向量大于向量若向量与是共线向量，则必在同直线上单位向量相等四边形是平行四边形当且仅当个零向量方向不确定当且仅当模为⑩共线的向量，若起点不同，则终点定不同其中正确的是只填序号分析利用零向量单位向量与平行向量逐判断即可解析序号正误原因因为平行向量包括方向相同和相反两种情况向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来是个向量，而是个数量向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同直线上单位向量模均为，但方向不确定由，得且零向量的模为零且方向不确定⑩共线的向量，若起点不同，终点也可以相同答案点评上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于些似是而非的概念定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，任何个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，而与方向无关变式探究判断下列说法是否正确，不正确的说明理由若向量与同向，且，则若向量，则与的长度相等且方向相同或相反对于任意向量，若与的方向相同，则由于方向不确定，故不与任意向量平行向量与向量平行，则向量与方向相同或相反解析不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小不正确由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系正确，且与同向，由两向量相等的条件，可得不正确依据规定与任意向量平行不正确因为向量与向量若有个是零向量，则其方向不定考点二向量的表示方法例在如图所示的坐标纸中，画出下列向量，点在点的正东方向，点在点的北偏东的方向分析在画向量时应以点为起点，同时应明确方向解析如图，利用有向线段表示向量如下点评准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点长度和终点，三者缺不可起点相同，模也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，模长为半径的圆变式探究在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为试以为起点画个向量，使在图中画个以为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么解析根据相等向量的定义，所作向量与向量同向，且长度相等，如图中的即为所作向量如图由平面几何知识可知，所有满足条件的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆考点三共线向量和相等向量例如图，是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在图中所示的向量中分别找出与，相等的向量找出与共线的向量找出与模相等的向量向量与是否相等分析找相等的向量就是找长度相等且方向相同的向量找共线向量就是找方向相同或相反的向量解析与相等的向量为，与相等的向量为与共线的向量为与模相等的向量为与模相等的向量为向量与不相等但与方向相反点评寻找共线向量先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量寻找相等向量先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线变式探究如图，分别是正三角形各边的中点写出图中所示向量与向量长度相等的向量写出图中所示向量与向量相等的向量分别写出图中所示向量与向量，共线的向量解析与长度相等的向量是与相等的向量是与共线的向量是与共线的向量是新思维随堂自测下列结论中正确的是若，则的长度相等且方向相同或相反若向量满足且与同向，则若，则若，则与不是共线向量答案下列命题两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同若非零向量与是共线向量，则四点共线若非零向量与共线，则若四边形是平行四边形，则必有若向量与平行，则与的方向相同或相反其中真命题的个数为解析对于，显然为假命题对于，也是假命题这是因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念对于，是假命题两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不定是相等向量，而相等向量却定是共线向量对于，是真命题这是因为四边形是平行四边形，所以且，即对于，是假命题这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的答案如图，在正中，分别是的中点，则与向量相等的向量是与与与与解析綊，答案下列说法正确的是填写正确的序号零向量是唯没有方向的向量零向量的大小为且方向确定零向量没有大小任意两个单位向量方向相同或相反解析零向量的大小为，方向是任意的，故错误单位向量的模为，方向不定相同或相反，故错误正确答案设是正方形的中心，则，中，模相等的向量是解析由正方形的性质可知，与，与的模分别相等答案与，与辨错解走出误区易错点混淆向量的模与绝对值典例给出下列四个命题若，则若，则或若，则若，，则其中，正确的命题有个个个个错解错因分析忽略了与的区别混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等当时，可以为任意向量，故不定平行于正解反思对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆目标导航理解向量的概念及向量的表示方法重点理解向量的模零向量单位向量的概念重点易错点理解相等向量共线平行向量的概念难点新知识预习探究知识点向量的概念阅读教材第自然段，完成下列问题向量既有，又有的量叫做向量数量只有，没有的量，称为数量大小方向大小方向思考我们知道，两个数量可以比较大小，两个向量能比较大小吗提示向量不能比较大小因为向量既有大小，又有方向练习下列量中是向量的是长度体积速度密度解析向量是既有大小，又有方向的量，只有选项满足答案知识点二向量的几何表示阅读教材第二自然段，完成下列问题带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素向量可以用表示，向量的大小，也就是向量的长度或称模，记作向量也可以用字母，„表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如，长度为的向量叫做零向量，记作，长度等于的向量，叫做单位向量方向的非零向量叫做平行向量，如果向量，平行，记作规定零向量与任意向量平行起点方向长度有向线段个单位相同或相反练习正确的打，错误的打“”向量的模是个正实数单位向量定相等零向量没有方向知识点三相等向量与共线向量阅读教材，完成下列问题的向量叫做相等向量任组向量都可以移动到同直线上，因此，平行向量也叫做长度相等且方向相同平行共线向量思考共线向量与相等向量有什么关系向量的平行与线段的平行有什么区别提示相等的向量定共线，但共线的向量不定相等平行向量包括对应的有向线段平行或重合两种情况，统称共线向量而线段的平行，是指两线段所在直线无公共点练习如图，点是正六边形的中心，则以图中点中的任意点为始点，与始点不同的另点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有个个个个解析与向量共线的向量有共个答案新视点名师博客向量基本概念的辨析判断个量是不是向量，关键看它是否具备向量的两要素大小和方向同时具备这两个要素的量才是向量，否则就不是向量但在现实生活中，有些量既同时具备大小和方向这两个属性，也具有其他属性如“力”就是由大小方向作用点所决定的，那么我们仍然把它看作向量学习向量，首先，要清楚向量的两要素大小和方向其次，要对共线向量单位向量相等向量零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性共线向量又称平行向量，前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任向量平行单位向量的长度的大小不定，可根据需要任意设定且方向不确定相等向量是大小相等且方向相同的向量零向量的大小为零，它的方向是任意的平面图形中寻求共线向量相等向量的方法在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意条线段有正反两个共线向量，而方向相同长度不等的有向线段又可以表示不同的共线向量对于相等向量，定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等方向相同的共线向量即可判断向量是否共线，首先是看向量的起点和终点是否都在同直线上或观察其所在直线是否平行而判断两向量是否相等不仅要看向量所在直线是否平行或共线，还要看其模是否相等利用向量的表示可以形象直观顺利地解决些问题新课堂互动探究考点向量的有关概念例下列说法向量和向量长度相等方向不同的两个向量定不平行向量是有向线段向量向量大于向量若向量与是共线向量，则必在同直线上单位向量相等四边形是平行四边形当且仅当个零向量方向不确定当且仅当模为⑩共线的向量，若起点不同，则终点定不同其中正确的是只填序号分析利用零向量单位向量与平行向量逐判断即可解析序号正误原因因为平行向量包括方向相同和相反两种情况向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来是个向量，而是个数量向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同直线上单位向量模均为，但方向不确定由，得且零向量的模为零且方向不确定⑩共线的向量，若起点不同，终点也可以相同答案点评上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于些似是而非的概念定要分辨清楚，如有向线段概念例下列说法向量和向量长度相等方向不同的两个向量定不平行向量是有向线段向量向量大于向量若向量与是共线向量，则必在同直线上单位向量相等四边形是平行四边形当且仅当个零向量方向不确定当且仅当模为⑩共线的向量，若起点不同，则终点定不同其中正确的是只填序号分析利用零向量单位向量与平行向量逐判断即可解析序号正误原因因为平行向量包括方向相同和相反两种情况向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来是个向量，而是个数量向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同直线上单位向量模均为，但方向不确定由，得且零向量的模为零且方向不确定⑩共线的向量，若起点不同，终点也可以相同答案点评上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于些似是而非的概念定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，任何个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，而与方向无关变式探究判断下列说法是否正确，不正确的说明理由若向量与同向，且，则若向量，则与的长度相等且方向相同或相反对于任意向量，若与的方向相同，则由于方向不确定，故不与任意向量平行向量与向量平行，则向量与方向相同或相反解析不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小不正确由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系正确，且与同向，由两向量相等的条件，可得不正确依据规定与任意