点评熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键变式探究化简下列各式解析原式原式原式考点二向量共线的判定及应用例已知非零向量，不共线如果，求证三点共线欲使和共线，试确定实数的值分析解答本题对于，欲证三点共线，只需证存在实数，使即可对于，若与共线，则定存在，使解析证明，共线，且有公共点，三点共线与共线，存在，使，则，与不共线，只能有点评本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式探究设是两个不共线的非零向量，若起点相同，，当为何值时，三向量的终点在条直线上解析设化简整理得，不共线，，故时，的终点在条直线上考点三向量线性运算的应用例如图所示分别是中边，的中点分别是，的中点，已知试用，分别表示分析由图形结合三角形中位线定理可解解析由三角形中位线定理，知綊，故，即点评解时应注意以下几点定理本身包含了正反两个方面若存在个实数，使，则与共线反之，若与共线，则必存在个实数，使定理中，之所以限定是由于若，虽然仍然存在，可是不唯，定理的正反两个方面不成立若，不共线，且，则必有新课堂互动探究考点向量的线性运算例化简分析运用向量的数乘运算，以及数乘运算的运算律进行化简解析点评熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键变式探究化简下列各式解析原式原式原式考点二向量共线的判定及应用例已知非零向量，不共线如果，求证三点共线欲使和共线，试确定实数的值分析解答本题对于，欲证三点共线，只需证存在实数，使即可对于，若与共线，则定存在，使解析证明，共线，且有公共点，三点共线与共线，存在，使，则，与不共线，只能有点评本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式探究设是两个不共线的非零向量，若起点相同，，当为何值时，三向量的终点在条直线上解析设化简整理得，不共线，，故时，的终点在条直线上考点三向量线性运算的应用例如图所示分别是中边，的中点分别是，的中点，已知试用，分别表示分析由图形结合三角形中位线定理可解解析由三角形中位线定理，知綊，故，即点评充分利用平面几何的些结论，转化为相等向量相反向量共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用变式探究在中，已知是边上点，若求的值解析方法由得，即，所以方法二因为，所以新思维随堂自测点在线段上，且，则解析利用线段的比例关系及向量的方向答案设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是与的方向相反与的方向相同解析答案若，化简以上都不对解析，又，原式答案已知分别为四边形的边的中点，设则解析答案设，是两个不共线的非零向量若向量与的方向相反，则解析向量与的方向相反，⇒，⇒方向相反，⇒答案辨错解走出误区易错点对向量的线性运算的几何意义理解不透典例若非零且不共线的向量，满足，则错解错因分析本题易错选，如图所示，若与不共线，则设则，且，再作，连接，则，在中，由于，即，所以作，连接，则在中，由于，所以，又与的大小不确定，故与的大小不确定正解反思在进行向量的线性运算时易忽略向量的加减法的几何意义，不能把向量的线性运算与几何意义相结合目标导航掌握向量数乘运算及其几何意义重点易错点能用向量的数乘运算的运算律化简向量重点掌握向量共线定理及应用难点新知识预习探究知识点向量数乘的定义阅读教材“探究”以下内容前行内容，完成下列问题练习正确的打，错误的打“”实数与向量数乘的结果仍是个向量的方向与的方向致对任意实数和向量若，则知识点二向量数乘的运算律阅读教材第行“思考”以上内容，完成下列问题，，特别地练习答案知识点三向量共线的基本定理阅读教材“思考”及以下内容，完成下列问题向量与共线，当且仅当有唯个实数，使思考定理中条件能去掉吗提示不能去掉若，实数仍然存在，但是任意实数，不唯若，，则不存在实数，使练习设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值等于解析与共线答案新视点名师博客解读实数与向量的积的几何意义就是把沿着与相同时或相反时的方向伸长时或缩短时到原来的倍实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如，无法进行运算当或时这时就不必讨论方向了当时就是的相反向量准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据理解时应注意以下几点定理本身包含了正反两个方面若存在个实数，使，则与共线反之，若与共线，则必存在个实数，使定理中，之所以限定是由于若，虽然仍然存在，可是不唯，定理的正反两个方面不成立若，不共线，且，则必有新课堂互动探究考点向量的线性运算例化简分析运用向量的数乘运算，以及数乘运算的运算律进行化简解析点评熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键变式探究化简下列各式解析原式原式原式考点二向量共线的判定及应用例已知非零向量，不共线如果，求证三点共线欲使和共线，试确定实数的值分析解答本题对于，欲证三点共线，只需证存在实数，使即可对于，若与共线，则定存在，使解析证明，共线，且有公共点，三点共线与共线，存在，使，则，与不共线，只能有点评本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式探究设是两个不共线的非零向量，若起点相同，，当为何值时，三向量的终点在条直线上解析点评熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键变式探究化简下列各式解析原式原式原式考点二向量共线的判定及应用例已知非零向量，不共线如果，求证三点共线欲使和共线，试确定实数的值分析解答本题对于，欲证三点共线，只需证存在实数，使即可对于，若与共线，则定存在，使解析证明，共线，且有公共点，三点共线与共线，存在，使，则，与不共线，只能有点评本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式探究设是两个不共线的非零向量，若起点相同，，当为何值时，三向量的终点在条直线上解析设化简整理得，不共线，，故时，的终点在条直线上考点三向量线性运算的应用例如图所示分别是中边，的中点分别是，的中点，已知试用，分别表示分析由图形结合三角形中位线定理可解解析由三角形中位线定理，知綊，故，即点评