由⇒，定义域关于原点对称又，故原函数是奇函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性由，得定义域为,关于原点对称，，为偶函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性在函数定义域关于原点对称的情况下，对于函数常数，当时，既是奇函数又是偶函数，当时，只是偶函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用重点确定奇偶性函数的解析式或图象根据函数的奇偶性可得解析式的变换特征或图象的对称特征考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用高考新课标全国卷Ⅱ偶函数的图象关于直线对称则利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可的图象关于直线对称，即是偶函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用高考湖南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则选根据奇偶函数的性质，求出的解析式，是偶函数，是奇函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用若是偶函数，则利用偶函数的定义求解是偶函数即考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用对恒成立，，或，舍去考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用利用奇函数的定义式或偶函数的定义式建立与之间的关系，达到求值的目的已知函数的奇偶性求参数问题的关键是“以方程破门”，利用函数奇偶性的定义，转化为或对恒成立，从而可轻松建立方程，通过解方程，使问题获得解决也可以“以赋值破门”，如奇函数在上有或等，第题可利用求解考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用重点根据函数的周期性重复性转化自变量所在区间若，与，都是个周期，则考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用奇函数的定义域为若为偶函数，且，则选由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值因为为上的奇函数，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以，即函数的周期为，故考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用辽宁五校联考规定表示不超过的最大整数，化为分析两个函数，的图象交点问题当，时，是以为周期的函数，且，，，当，时，是指数型函数，将的图象向下平移个单位，则过点如图所示，而为恒过定点斜率为的直线由图可知，当直线介于图中两条直线，之间时满足题意显然直线与函数图象的交点个数为，直线与函数图象的交点个数为，又故实数的取值范围为，考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用利用周期函数的定义式，把不在解析式范围之内的通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值判断函数周期性的几个常用结论，则为周期函数，周期，则函数必为周期函数，是它的个周期，则函数必为周期函数，是它的个周期素能提升应考展示思想方法•系列抽象函数的单调性周期性奇偶性综合应用些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律如是奇函数又关于对称，则为周期函数若是偶函数，关于对称，则最小正周期，因偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上单调性相同因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题素能提升应考展示思想方法•系列典例泰安模拟定义在上的函数满足，且在，上是增函数，给出下列四个命题是周期函数的图象关于对称在,上是减函数，其中正确命题的序号是请把正确命题的序号全部写出来素能提升应考展示思想方法•系列隐含了用什么结论什么方法探究，隐含了什么结论用什么方法探究若图象关于对称，其解析式具备什么等式关系从何处理探究在,上的图象与,上的图象有什么关系依据什么指导，从何处计算分析关系素能提升应考展示思想方法•系列第步对任意，恒成立赋值法令，令，为奇函数第二步在,上为增函数，又为奇函数，在,上为增函数素能提升应考展示思想方法•系列第三步由⇒⇒，代换法周期，即为周期函数第四步⇒代换法又为奇函数关于对称素能提升应考展示思想方法•系列第五步由在,上为增函数，又关于对称上为减函数对称法第六步由，令得赋值法此题用图象法更直观反思素能提升应考展示应考迷津•展示考前必记常见函数次二次反比例函数等奇偶性的特点函数奇偶性定义及奇偶函数的特征函数的周期性及周期的判定和应用答题指导看到函数的奇偶性周期性，想图象的对称性重复性看到求抽象函数的值，想到周期性如考点三，第题看到由奇偶性求参数，想到恒成立问题如考点二，第题第二章基本初等函数导数及其应用第课时函数的奇偶性与周期性高三总复习数学文考点判断函数的奇偶性考点二函数奇偶性的应用考点三函数的周期性及应用考点思想方法•系列应考迷津•展示考纲展示利用定义判断函数的奇偶性利用函数奇偶性求参数取值或函数解析式利用函数奇偶性周期性单调性求函数值教材梳理基础自测函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是奇函数关于对称轴原点教材梳理基础自测函数的奇偶性自测若函数，则函数在其定义域上是单调递减的偶函数单调递减的奇函数单调递增的偶函数单调递增的奇函数教材梳理基础自测函数的奇偶性自测高考广东卷下列函数为奇函数的是选根据奇函数的定义求解对于选项定义域为，，所以是奇函数，故正确易知为偶函数为偶函数是非奇非偶函数综上，选教材梳理基础自测函数的奇偶性自测的图象关于轴对称直线对称坐标原点对称直线对称教材梳理基础自测二函数的周期性周期函数对于函数，如果存在个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期最小最小教材梳理基础自测二函数的周期性自测已知在上满足，且为奇函数，当,时则教材梳理基础自测二函数的周期性自测函数是上的偶函数，则考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性关键点定义域关于,对称是函数有奇偶性的前提求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称若定义域不关于原点对称，则此函数为非奇非偶函数若定义域关于原点对称，则继续进行第步考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性要使有意义，则，解得，显然的定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性，，且函数的定义域关于原点对称又，即函数是奇函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性当函数的定义域关于原点对称时，再判断是否有有些函数在定义域内可化简更利于判断考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性关键点验证的成立情况用定义法判断函数奇偶性，与都要验证是否成立，有些特殊函数具有双重性考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性由得或函数的定义域为，对任意的且，既是奇函数，又是偶函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性由⇒，定义域关于原点对称又，故原函数是奇函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性由，得定义域为,关于原点对称，，为偶函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性在函数定义域关于原点对称的情况下，对于函数常数，当时，既是奇函数又是偶函数，当时，只是偶函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用重点确定奇偶性函数的解析式或图象根据函数的奇偶性可得解析式的变换特征或图象的对称特征考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用高考新课标全国卷Ⅱ偶函数的图象关于直线对称则利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可的图象由⇒，定义域关于原点对称又，故原函数是奇函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性由，得定义域为,关于原点对称，，为偶函数考点突破题型透析考点判断函数的奇偶性在函数定义域关于原点对称的情况下，对于函数常数，当时，既是奇函数又是偶函数，当时，只是偶函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用重点确定奇偶性函数的解析式或图象根据函数的奇偶性可得解析式的变换特征或图象的对称特征考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用高考新课标全国卷Ⅱ偶函数的图象关于直线对称则利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可的图象关于直线对称，即是偶函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用高考湖南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则选根据奇偶函数的性质，求出的解析式，是偶函数，是奇函数考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用若是偶函数，则利用偶函数的定义求解是偶函数即考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用对恒成立，，或，舍去考点突破题型透析考点二函数奇偶性的应用利用奇函数的定义式或偶函数的定义式建立与之间的关系，达到求值的目的已知函数的奇偶性求参数问题的关键是“以方程破门”，利用函数奇偶性的定义，转化为或对恒成立，从而可轻松建立方程，通过解方程，使问题获得解决也可以“以赋值破门”，如奇函数在上有或等，第题可利用求解考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用重点根据函数的周期性重复性转化自变量所在区间若，与，都是个周期，则考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用奇函数的定义域为若为偶函数，且，则选由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值因为为上的奇函数，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以，即函数的周期为，故考点突破题型透析考点三函数的周期性及应用辽宁五校联考规定表示不超过的最大整数，