奇数时，。去掉归化影响根据截止频率，按照式计算切比雪夫滤波器的系统函数例已知通带波纹为，截止频率，阻带截止频率，阻带衰减大于，试设计满足上述性能指标的切比雪夫Ⅰ型低通滤波器。解已知，，，计算归化频率，。计算。计算滤波器的阶数选定。根据滤波器阶数，查表得归化原型切比雪夫滤波器系统函数因为当为奇数时，即所以去掉归化影响其它各型滤波器设计模拟高通滤波器设计由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器和模轴映射成单位圆，把右半平面映射在单位圆的外部。令，，则由式得所以由此得出模拟滤波器的频率和数字滤波器频率的关系式为这公式的关系如图所示。可以看出，当时，，当时，,当时，。这就是说平面的原点映射为平面，点，而平面的正虚轴和负虚轴分别映射成平面单位圆的上半圆和下半圆。图双线性变换的频率间非线性关系由上所述，可得如下结论模拟滤波器中最大和最小值将保留在数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也定是稳定的。由于平面的整个虚轴映射为平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了脉冲响应不变变换法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。但由式可见，在频率与间存在严重的非线性。模拟滤波器的数字化由于双线性变换法中，与之间有简单的代数关系，故可由模拟系统函数通过代数置换直接得到数字滤波器的系统函数。即可见数字滤波器的极点数等于模拟滤波器的极点数。频率响应也可用直接置换得到这公式可用于将滤波器的数字域指标，转换为模拟域指标。再者，可在未进行双线性变换前把原模拟系统函数分解成并联或级联子系统函数，然后再对每个子系统函数分别加以双线性变换。就是说，所有的分解，都可以就模拟滤波器系统函数来进行，因为模拟滤波器已有大量图表可供利用，且分解模拟系统函数比较容易。优缺点双线性变换法的主要优点是消除了脉冲响应不变变换法所固有的混叠误差。这是由于平面的整个轴单值地对应于平面单位圆周的缘故。数字域频率与模拟域频率关系已在式中示出，并已画于图上。由图可见，在零频附近，模拟频率与数字频率的关系接近于线性。值愈小，即取样频率愈高，则成线性关系的频率范围愈大。当进步增大时，增长变慢，二者不再是线性关系了。最后当时，终止在折叠频率处，从而双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混叠到低频部分去的现象。这意味着，模拟滤波器全部频率响应特性被压缩于等效的数字频率范围之内。由图还可以看出，双线性变换消除混叠的这个特点是靠频率的严重非线性而得到的。双线性变换法的缺点是频率与间的非线性。这种非线性关系要求被变换的连续时间系统的幅度响应必须是分段常数型的段频率范围幅度响应近似于常数，不然所映射出的数字频率响应相对于原来的模拟频率响应会产生变形。例如，双线性变换不能将模拟微分器变换成数字微分器如图所示，但是对于低通高通带通带阻模拟滤波器，频率响应都是分段常数型的，可采用双线性变换，只要截止频率点映射正确，即可消除变换中所带来的频率间的非线性畸变。实际解决双线性变换中的频率非线性关系的方法有两种。在低频段，模拟与数字两滤波器的频率关系处于近似的线性范围之内，故可忽略非线性影图理想微分器经双线性变换后的幅频响应产生畸变响。采用补偿的办法，也可称为预畸的方法预畸设计法如图所示。设所希望的数字滤波器的四个截止频率为。利用式的频率变换关系，求出对应的四个模拟截止频率为，，，，而模拟滤波器就按此畸变了的截止频率组进行设计。对这个模拟滤波器作双线性变换，便可得到具有要求的截止频率的数字滤波器。模拟与数字两域频率间的非线性关系还会造成变换后滤波器的相位特性失真。对线性相位特性的模拟滤波器进行双线性变换后所得的数字滤波器就不再保持线性相位特性了。例已知模拟滤波器的系统传递函数为，使用双线性变换法将上述传递函数转换为数字滤波器的传递函数，采样周期。解例用双线性变换法设计个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，采样频率为，截止频率为。解求数字频率预畸变预畸变特征图双线性变换时频率的预畸变查表得归化巴特沃斯低通滤波器的系统函数为令得双变换后为二巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为其中为常数参数，为滤波器阶数，为归化低通截止频率,。式中为整数，是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，阶低通滤波器在处幅度平方函数的前阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图所示。滤波器的特性完全由其阶数决定。当增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由式决定了在处的幅度函数总是衰减，但是它们将在通带的更大范围内接近于，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数的依赖关系如图所示。设归化巴特沃斯低通滤波器的归化频率为，归化传递函数为，其中，则由式和式得由于所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。常用设计巴特沃斯低通滤波器指标通带截止频率通带衰减，单位阻带起始频率阻带衰减，单位。说明衰减在这里以分贝为单位即图巴特沃斯低通滤波器的振幅特性图巴特沃斯低通滤波器指标当时为通常意义上的截止频率。在滤波器设计中常选用归化的频率，即,巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求，，，确定归化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数及滤波器的阶数然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数。将实际频率归化得，，再根据已知的，，幅度平方函数确定和。求和由并带入，，，得即因为，所以由两边取对数得其中这样可以求出和。注意当时，，即，此时巴特沃斯滤波器只剩下个参数。确定巴特沃斯滤波器的传递函数。由于由，解得极点为将左半平面的极点赋予即其中为了便于设计，工程上已将当时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表所示。在表中的函数被称为归化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表归化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归化系统函数去掉归化影响上面设计中采用归化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换即综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下计算归化频率，。根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数和阶次注意当时。利用查表获得归化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数在阻带内是单调的称为切比雪夫型滤波器振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图和图分别画出了为奇数偶数时的切比雪