⊇不包含的定义也可以表述为对于两个集合与，如果集合中至少有个元素不是集合的元素，那么或⊉不要把子集理解为由集合中的部分元素组成的集合是的子集这样与∅⊆相抵触，更与⊆相矛盾图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称图图对抽象集合或离散的数集表示其关系很方便，且有直观明了的效果，特别在下节集合的运算中应用更为简捷课堂互动探究剖析归纳触类旁通求给定集合的子集及其个数例分别写出下列各集合的子集及其个数∅典例剖析解∅的子集∅，即∅有个子集的子集∅即有个子集，的子集∅，即，有个子集的子集∅，即有个子集规律技巧写个集合的子集时，按子集中元素的个数多少，以定顺序来写不易发生重复和遗漏变式训练若∅⊆写出所有集合解∅，中至少含有个元素当中含有个元素时，为当中含有两个元素时，为当中含有三个元素时，为当中含有四个元素时，为，集合间包含关系的判定二例设，，试确定与的关系分析集合与都是数集可分别求出的取值范围，借助数轴判断与的关系解，，如图所示，可知规律技巧对于两个无穷数集，可借助数轴来确定它们之间的关系变式训练设集合，，，，试判断与之间的关系解解法对于集合，其组成元素是，，分子部分表示有个子集的子集∅，即有个子集规律技巧写个集合的子集时，按子集中元素的个数多少，以定顺序来写不易发生重复和遗漏变式训练若∅⊆写出所有集合解∅，中至少含有个元素当中含有个元素时，为当中含有两个元素时，为当中含有三个元素时，为当中含有四个元素时，为，集合间包含关系的判定二例设，，试确定与的关系分析集合与都是数集可分别求出的取值范围，借助数轴判断与的关系解，，如图所示，可知规律技巧对于两个无穷数集，可借助数轴来确定它们之间的关系变式训练设集合，，，，试判断与之间的关系解解法对于集合，其组成元素是，，分子部分表示所有的整数而对于集合，其组成元素是，，分子部分表示所有的奇数由真子集的概念知，解法二上述集合，用列举法表示如下„„，„„，所以集合相等及应用三例若，则的值为解析利用集合相等，它们所含的元素相同来确定，的值，再求的值，，此时有当时，不满足互异性答案规律技巧两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素的互异性或与已知相矛盾的情形证明两个集合相等常用方法是证⊆，且⊆变式训练已知集合，且，求实数与的值解由已知，若，则，不满足元素的互异性若，则，也不满足元素的互异性只有，即舍，或，或当时不满足元素的互异性，故当时,满足题意即为所求集合基本关系的应用四例已知集合若，求实数的取值集合解将数集表示在数轴上如下图所示，要满足，表示数的点必须在表示的点处或在表示的点的右边，所以所求的集合为规律技巧这类问题，要利用数轴，数形结合，以形定数同时要注意验证端点值，做到准确无误变式训练已知非空集合，若⊆，求的取值范围若，求的值解如图所示，由题意知，∅，∅，且⊆，，⇒若，则易错探究例已知集合若⊆，求实数的取值范围错解由⊆，得，解得错因分析上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法原因是考虑不全面，由集合的含义及⊆，忽略了集合为∅的可能而漏掉解因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能正解且⊆若∅，则，解得，此时有⊆若∅，则，即，由⊆，得解得由得实数的取值范围是当堂检测下列四个集合中，表示空集的是，，，∉，解析中有个元素，不是空集，不是空集，，∉，不是空集，故选答案下列关系中，表示正确的是,,⊆,,解析⊆表示集合之间的关系，故，错误表示元素与集合之间的关系，故错误答案已知集合，，则集合的真子集个数为个个个个解析由题意知，或，即故其真子集有个答案设，若⊆，则的取值范围是解析⊆，答案若集合且⊆，求实数的值解由题意可得当时，满足题意，故当时，由⊆，得综上所述，或第章集合与函数概念集合集合间的基本关系课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础学习目标理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和图表示会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和图表示在具体情境中理解空集的含义课前热身对于两个集合如果，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的，记作或如果集合是集合的子集⊆，且集合是集合的子集⊆，此时集合和集合中的元素，因此，集合与集合，记作如果集合⊆，但存在元素且，我们称集合是集合的，记作我们把叫做空集，记为，并规定空集是任何集合的若非空，则∅是的任何个集合是它本身的，即对于集合，如果⊆，且⊆，那么集合中任意个元素都是集合中的元素子集⊆⊇是样的相等∉真子集或自我校对不含任何元素的集合∅子集真子集思考探究“”与“⊆”有什么区别提示“”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系思考探究∅与有什么区别提示∅是不含任何元素的集合是含有个元素的集合，∅名师点拨子集概念的理解子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合与之间的关系如下⊆⇔⊆，且⊆⇒其中记号或表示集合不包含于集合或集合不包含于集合子集具有以下性质⊆，即任何个集合都是它本身的子集如果⊆，⊆，那么如果⊆，⊆，那么⊆如果，，那么包含的定义也可以表述成如果由任，可以推出，那么⊆或⊇不包含的定义也可以表述为对于两个集合与，如果集合中至少有个元素不是集合的元素，那么或⊉不要把子集理解为由集合中的部分元素组成的集合是的子集这样与∅⊆相抵触，更与⊆相矛盾图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称图图对抽象集合或离散的数集表示其关系很方便，且有直观明了的效果，特别在下节集合的运算中应用更为简捷课堂互动探究剖析归纳触类旁通求给定集合的子集及其个数例分别写出下列各集合的子集及其个数∅典例剖析解∅的子集∅，即∅有个子集的子集∅即有个子集，的子集∅，即，有个子集的子集∅，即有个子集规律技巧写个集合的子集时，按子集中元素的个数多少，以定顺序来写不易发生重复和遗漏变式训练若∅⊆写出所有集合解∅，中至少含有个元素当中含有个元素时，为当中含有两个元素时，为当中含有三个元素时，为当中含有四个元素时，为，集合间包含关系的判定二例设，，试确定与的关系分析集合⊇不包含的定义也可以表述为对于两个集合与，如果集合中至少有个元素不是集合的元素，那么或⊉不要把子集理解为由集合中的部分元素组成的集合是的子集这样与∅⊆相抵触，更与⊆相矛盾图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称图图对抽象集合或离散的数集表示其关系很方便，且有直观明了的效果，特别在下节集合的运算中应用更为简捷课堂互动探究剖析归纳触类旁通求给定集合的子集及其个数例分别写出下列各集合的子集及其个数∅典例剖析解∅的子集∅，即∅有个子集的子集∅即有个子集，的子集∅，即，有个子集的子集∅，即有个子集规律技巧写个集合的子集时，按子集中元素的个数多少，以定顺序来写不易发生重复和遗漏变式训练若∅⊆写出所有集合解∅，中至少含有个元素当中含有个元素时，为当中含有两个元素时，为当中含有三个元素时，为当中含有四个元素时，为，集合间包含关系的判定二例设，，试确定与的关系分析集合与都是数集可分别求出的取值范围，借助数轴判断与的关系解，，如图所示，可知规律技巧对于两个无穷数集，可借助数轴来确定它们之间的关系变式训练设集合，，，，试判断与之间的关系解解法对于集合，其组成元素是，，分子部分表示