［定稿］初高中数学衔接全册教案

在实数范围内因式分解三边满足，试判定的形状分解因式第二讲函数与方程元二次方程根的判别式我们知道，对于元二次方程≠，用配方法可以将其变形为因为≠，所以，于是当时，方程的右端是个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根，当时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根当时，方程的右端是个负数，而方程的左边定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，元二次方程≠的根的情况可以由来判定，我们把叫做元二次方程≠的根的判别式，通常用符号来表示综上所述，对于元二次方程≠，有当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根当时，方程没有实数根例判定下列关于的方程的根的情况其中为常数，如果方程有实数根，写出方程的实数根说明在第，小题中，方程的根的判别式的符号随着的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对的取值情况进行讨论，这方法叫做分类讨论分类讨论这思想方法是高中数学中个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这方法来解决问题根与系数的关系韦达定理若元二次方程≠有两个实数根，，则有所以，元二次方程的根与系数之间存在下列关系如果≠的两根分别是那么这关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为的元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知，即，所以，方程可化为，由于，是元二次方程的两根，所以也是元二次方程因此有以两个数，为根的元二次方程二次项系数为是例已知方程的个根是，求它的另个根及的值例已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大，求的值例已知两个数的和为，积为，求这两个数例若和分别是元二次方程的两根求的值求的值例若关于的元二次方程的根大于零另根小于零，求实数的取值范围练习选择题方程的根的情况是有个实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是，且≠，且≠填空若方程的两根分别是和，则方程≠的根的情况是以和为根的元二次方程是已知，当取何值时，方程有两个不相等的实数根已知方程的两根为和，求的值习题选择题已知关于的方程的个根是，则它的另个根是下列四个说法方程的两根之和为，两根之积为方程的两根之和为，两根之积为方程的两根之和为，两根之积为④方程的两根之和为，两根之积为其中正确说法的个数是个个个个关于的元二次方程的个根是，则的值是，或二次方程练习有两个不相等的实数根，且≠提示习题提示和④是错的，对于，由于方程的根的判别式，所以方程没有实数根对于④，其两根之和应为提示当时，方程不是元二次方程，不合题意当，且≠时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根当时，方程没有实数根设已知方程的两根分别是和，则所求的方程的两根分别是和所求的方程为二次函数二次函数的图象和性质练习，下，直线，大开口向上对称轴为直线顶点坐标为当时，函数有最小值当时，随着的增大而减小当时，随着的增大而增大其图象如图所示开口向下对称轴为直线顶点坐标为当时，函数有最大值当时，随着的增大而增大当时，随着的增大而减小其图象如图所示通过画出函数图象来解图象略当时，函数有最大值无最小值当时，函数有最大值无最小值当时，函数有最大值当时，函数有最小值当时，函数有最大值当时，函数有最小值二次函数的三种表示方式练习第题习题方程与不等式二元二次方程组解法练习是方程的组解不是方程组的解，，元二次不等式解法练习，或，或不等式可以变为，当，即时，当，即时，不等式即为，当，即时，综上，当时，原不等式的解为当时，原不等式的解为当时，原不等式的解为习题，，，无解，或第二讲三角形与圆相似形练习设，，即，作交于，则，又得，作交于，即，练习因为，所以是平行四边形当时，为菱形当，时，为正方形当时，习题为直角三角形斜边上的高，，又可证，三角形练习证略练习或或设两直角边长为斜边长为，则，且，解得，可利用面积证习题组圆练习取中点，连则，，且，共线，到，的距离分别为梯形的高为或，梯形的面积为或半径为，外公切线长为，内公切线长为练习以为圆心，为半径的圆与平行，且与距离为的两条平行线与平行，且与，距离相等的条直线两条平行直线，图略习题第讲数与式数与式的运算绝对值绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即，绝对值的几何意义个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义表示在数轴上，数和数之间的距离练习填空若，则若，则如果，且，则若，则选择题下列叙述正确的是若，则若，则若，则若，则化简乘法公式我们在初中已经学习过了下列些乘法公式平方差公式完全平方公式我们还可以通过证明得到下列些乘法公式立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例计算例已知，，求的值练习填空选择题若是个完全平方式，则等于不论，为何实数，的值总是正数总是负数可以是零可以是正数也可以是负数二次根式般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母且不能够开得尽方的式子称为无理式例如，等是无理式，而，，等是有理式分母子有理化把分母子中的根号化去，叫做分母子有理化为了进行分母子有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式，而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式二次根式的意义，例将下列式子化为最简二次根式例计算例试比较下列各组数的大小和和例化简例化简例已知，，求的值练习填空若，则的取值范围是若，则选择题等式成立的条件是若，求的值比较大小填，或分式分式的意义形如的式子，若中含有字母，且，则称为分式当≠时，分式具有下列性质上述性质被称为分式的基本性质繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例若，求常数，的值解得，例试证其中是正整数计算证明对任意大于的正整数，有例设，且求的值练习填空题对任意的正整数，选择题若，则正数，满足，求的值计算习题解不等式已知，求的值填空若，则的取值范围是分解因式因式分解的主要方法有十字相乘法提取公因式法公式法分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法十字相乘法例分解因式解如图，将二次项分解成图中的两个的积，再将常数项分解成与的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为，就是中的次项，所以，有说明今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个用来表示如图所示由图，得由图，得如图所示提取公因式法与分组分解法例分解因式或图图图图图关于的二次三项式≠的因式分解若关于的方程的两个实数根是，则二次三项式就可分解为例把下列关于的二次多项式分解因式练习选择题多项式的个因式为分解因式习题分解因式在实数范围内因式分解三边满足，试判定的形状分解因式第二讲函数与方程元二次方程根的判别式我们知道，对于元二次方程≠，用配方法可以将其变形为因为≠，所以，于是当时，方程的右端是个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根，当时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根当时，方程的右端是个负数，而方程的左边定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，元二次方程≠的根的情况可以由来判定，我们把叫做元二次方程≠的根的判别式，通常用符号来表示综上所述，对于元二次方程≠，有当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根当时，方程没有实数根例判定下列关于的方程的根的情况其中为常数，如果方程有实数根，写出方程的实数根说明在第，小题中，方程的根的判别式的符号随着的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对的取值情况进行讨论，这方法叫做分类讨论分类讨论这思想方法是高中数学中个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这方法来解决问题根与系数的关系韦达定理若元二次方程≠有两个实数根，，则有