四种命题间的相互关系四种命题的相互关系思考在四种命题中,具有互逆互否互为逆否关系的命题各有两对提示正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对二四种命题的真假关系般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真假真假假假真真假真假真假假四种命题的真假性之间的关系两个命题互为,它们有相同的真假性两个命题为或,其真假性没有关系判断正确的打,错误的打“”两个互逆命题的真假性相同原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同对于个命题的四种命题,可以个真命题也没有逆否命题互逆命题互否命题提示错误两个互逆命题的真假性没有关系,可能个真命题也没有正确原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真假性相同,为等价命题正确个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若,此命题的四种命题均为假命题答案知识点拨对四种命题相互关系的两点认识四种命题中,任意确定个为原命题,其逆命题否命题逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称特征在原命题逆命题否命题与逆否命题这四种命题中,记原命题为逆命题为否命题为逆否命题为,四种命题中共有对命题与,与,与,与,与,与它们之间的关系为互逆命题互否命题互为逆否命题原命题与逆命题否命题与逆否命题原命题与否命题逆命题与逆否命题原命题与逆否命题逆命题与否命题对四种命题真假关系的两点说明由于个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶数,即真命题可能有个个或个由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也是反证法的种变通形式类型四种命题的相互关系典型例题下列四个命题“若,则,互为相反数”的否命题“若,则”的逆否命题“若,则”的否命题“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是判断命题“如果,则有实数根”的逆否命题的真假解题探究写四种命题的关键是什么个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系探究提示写个命题的逆命题否命题和逆否命题关键是分清命题的条件和结论个命题与它的逆否命题同真同假解析选否命题若,则,不互为相反数,真命题逆否命题若,则,假命题否命题若,则,假命题逆命题相等的两个角是对顶角,假命题故选方法,方程的判别式方程有实数根原命题“如果,则有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果,则有实数根”的逆否命题也为真方法二原命题“如果,则有实数根”的逆否命题为“如果无实数根,则”无实数根,命题“如果无实数根,则”为真拓展提升判断四种命题之间四种关系的两种方法方法利用四种命题的定义判断方法二可以巧用“逆否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆否”二字,其关系为逆否关系变式训练下列命题中为真命题的是命题“若,则”的逆命题命题“若,则”的逆命题命题“若,则”的否命题命题“若,则”的逆否命题解题指南先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断解析选因为选项逆命题为“,所以”当时,当,所以命题“若,则”的逆命题是真命题选项逆命题为“若,则”,是假命题因为,所以选项它的否命题是“若,则”因为时,可以为,所以是假命题选项因为原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题类型二原命题与逆否命题的等价性应用典型例题“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是命题填真假判断下列命题的真假,并说明理由若,则若方程无实数根,则解题探究题中命题的条件与结论有什么特点当直接判断个命题的真假比较困难时,我们般如何处理探究提示命题的条件和结论都是否定的形式当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假解析“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原命题是真命题答案真原命题若,则逆否命题若,则,是真命题,所以原命题是真命题原命题若方程无实数根,则逆否命题若,则方程有实数根若,则,所以方程无实数根,逆否命题是假命题,所以原命题为假命题互动探究若题的命题变为若,则方程无实数根,如何判断此命题的真假解析命题“若,则方程无实数根”的逆否命题为“若方程有实数根,则”,由于,得,故原命题是真命题拓展提升原命题与逆否命题等价关系的应用若个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假当证明个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真假命题,来间接地证明原命题为真假命题变式训练判断下列命题的真假,并说明理由不内接于圆的四边形的对角不互补若,则,至少有个小于解析“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真命题“若,则,至少有个小于”的逆否命题为“若则”,真命题,所以原命题是真命题规范解答等价命题在证明中的应用典例条件分析规范解答证明原命题的逆否命题成立,原命题为“若,则”,其逆否命题为“若,则”证明如下„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分若,则,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分,„„„„„„„„„„„„„„„„„„分„„„„„„„„„„„„„„„„分又„„„„„„„„„„„„„„„„分„„„„„„„„„„„„„„„„„分,即,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分失分警示防范措施正难则反思想的应用若判断或证明个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题的真假来说明原命题的真假不等式性质的应用不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问题时要灵活应用,如本例中由可推出但由不定推出类题试解若,求证不可能都是奇数证明依题意,就是证明命题“若,则不可能都是奇数”为真命题为此,只需证明其逆否命题“若都是奇数,则”为真命题都是奇数,则都是奇数于是为偶数,而为奇数,即原命题的逆否命题为真命题,原命题成立与命题“若,则∉”等价的命题是若∉,则∉若∉,则若∉,则若,则∉解析选与命题等价的命题是其逆否命题,故选给出命题若函数是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题否命题逆否命题三个命题中,真命题的个数是解析选逆命题若函数图象不过第四象限,则这个函数是幂函数,假命题否命题若函数不是幂函数,则它的图象过第四象限,假命题逆否命题若函数的图象过第四象限,则它不是幂函数,真命题“若,则”的否命题是,否命题是命题填真假解析“若,则”的否命题是“若,则”,是真命题答案若,则真命题“常用对数不是的数不是”的逆否命题为,是命题填真假解析命题“常用对数不是的数不是”的逆否命题为“的常用对数是”,是真命题答案的常用对数是真写出命题“设为实数,若,则”的逆命题否命题逆否命题,并判断它们的真假解析逆命题设为实数,若,则,逆命题为假命题否命题设为实数,若,则,否命题为假命题逆否命题设为实数,若,则,逆否命题为真命题