四种命题间的相互关系认识四种命题间的相互关系及真假关系会利用命题真假的等价性解决简单问题本节的重点是四种命题间的相互关系本节的难点是利用命题真假的等价性解决简单问题四种命题的相互关系原命题若,则否命题若﹁,则﹁逆命题若,则逆否命题若﹁,则﹁互逆互逆互否互否四种命题的真假性两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是原命题与它的逆否命题真假性的关系是有真假性逆命题与否命题真假性的关系是有真假性综上，互为逆否命题具有相同的没有关系相同的相同的真假性在四种命题中，只有命题“若，则”和“若，则”是互否命题吗提示不是，如命题“若，则”和“若，则”也是互否命题互逆命题的真假性定不等价吗提示不定，如命题“若条直线垂直于个平面内的任意条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真命题“若函数，则函数是次函数”以及它的逆命题否命题逆否命题中，真命题的个数为解析因为命题“若函数，则函数是次函数”是假命题，则其逆否命题也为假命题其逆命题“若函数是次函数，则函数解析式为”是真命题，则它的逆否命题即原命题的否命题也为真，所以真命题的个数为答案对四种命题间结构关系的认识“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间定具有这三种关系中的种，且唯对四种命题间真假关系的认识当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有关系的，即它们之间可能同真同假真假当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其判断两个命题间的结构关系技法点拨判断两个命题间的结构关系的方法这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”典例训练与命题“在等差数列中，若,则”为互逆命题的是在等差数列中，若,则在等差数列中，若,则在等差数列中，若,则在等差数列中，若,则与命题“已知点，直线,若，则唯”为互否命题的是已知点，直线,若唯，则已知点，直线,若不唯，则已知点，直线,若不平行于，则不唯已知点，直线,若，则不唯湖南高考命题“若,则”的逆否命题是若,则若,则若,则若,则解析选根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列中,若,则”选根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点，直线，若不平行于，则不唯”选原命题的逆否命题是“若,则”，故选思考第题的逆命题是真命题吗由它的真假性，你会得到怎样的启示呢提示第题的逆命题是假命题例如常数列„由它得到的启示是在将个命题的逆命题作为结论使用时，定要先对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用四种命题的真假判断技法点拨四种命题的真假判断的两种方法利用命题真假判断的方法判断由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆否命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成典例训练命题“当时，为等腰三角形”与它的逆命题否命题逆否命题中，真命题的个数是有下列四个命题“若，则，互为倒数”的逆命题“相似三角形的周长相等”的否命题“若，则方程有实根”的逆否命题“若，则”的逆否命题其中的真命题是解析选因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有个选“若，则，互为倒数”的逆命题是“若，互为倒数，则”,是真命题，因此排除，又“相似三角形的周长相等”的否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是假命题，排除所以选想想解题用的什么方法此种方法的思路是什么提示用的方法是排除法，这种方法的思路是首先将选择支进行合理分类，再选择比较简单的类作出判断，依此判断进行排除互为逆否的命题同真同假的应用技法点拨命题真假判断的种策略当判断个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的种策略典例训练与命题“若个正整数能被整除，则这个数能被整除”等价的命题是若个正整数不能被整除，则这个数不能被整除若个正整数能被整除，则这个数能被整除若个正整数不能被整除，则这个数不能被整除若个正整数能被整除，则这个数不能被整除若，求证不可能都是奇数解析选因为互为逆否的命题是等价命题，所以选若都是奇数，则都是奇数，得为偶数，而为奇数，即，即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题所以不可能都是奇数总结在题中，结论用的是什么语句此题的证明你又得到怎样的启示呢提示在题中，结论用的是否定语句得到的启示凡是以否定语句给出的命题，它的真假判断般是使用它的逆否命题的真假来判断易错误区否定对象的误区典例在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题否命题逆否命题中，下列结论成立的是都真都假否命题逆否命题真逆否命题真解题指导解析选命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题是“若，则抛物线的开口向下”,否命题是“若抛物线的开口向上，则”,逆否命题是“若，则抛物线的开口向上”因为原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题而逆命题为假命题，所以否命题也为假命题，故选阅卷人点拨通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下注此处的见解析过程常见错误选解答过程中，若对处集合不理解，而误认为原命题为假命题，则会误选选解答过程中，在写此命题的否命题时，若将处错误地否定为，则会错选解题启示在写个命题的否命题逆否命题时，定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题结论的否定对象是集合，而非不等式即时训练已知命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题否命题逆否命题的真假判断正确的是逆命题否命题逆否命题都为真逆命题为真，否命题逆否命题都为假逆命题为假，否命题逆否命题都为真逆命题否命题都为假，逆否命题为真解析选因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题与命题“若不正确，则不正确”的逆命题等价的命题是若不正确，则不正确若不正确，则正确若正确，则不正确若正确，则正确解析选命题“若不正确，则不正确”的逆命题是“若不正确，则不正确”，而其逆命题的逆否命题是“若正确，则正确”命题“设，若,则”及它的逆命题否命题逆否命题中，真命题的个数是解析选互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即个个或个原命题正确，而否命题错误，所以选在空间中，若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是解析中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面我们用如图所示正方体做模型来观察上底面中任意三点都不共线，但，四点共面，所以中的逆命题不是真命题中的逆命题是若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点所以中的逆命题是真命题答案“若条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面”的逆命题是，它是命题填“真”或“假”解析原命题的逆命题为“若条直线垂直于个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”，它为真命题答案“若条直线垂直于个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”真已知命题若，则方程无实根，写出该命题的逆命题否命题和逆否命题，并判断真假解析逆命题若方程无实根，则，假命题否命题若，则方程有实根，假命题逆否命题若方程有实根，则，真命题