第章常用逻辑用语四种命题四种命题间的相互关系了解命题的逆命题否命题与逆否命题会分析四种命题间的相互关系目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩新知视界四种命题般地，对于两个命题，如果个命题的条件和结论分别是另个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中个命题叫做原命题，另个命题叫做原命题的逆命题也就是说，如果原命题为“若，则”，那么它的逆命题为“若，则”对于两个命题，其中个命题的条件和结论恰好为另个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的个命题叫做原命题，那么另个命题叫做原命题的否命题也就是说，如果原命题为“若，则”，那么它的否命题为“若綈，则綈”对于两个命题，其中个命题的条件和结论恰好是另个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中个命题叫做原命题，则另个命题叫做原命题的逆否命题也就是说，如果原命题为“若，则”，那么它的逆否命题是“若綈，则綈”思考感悟在四种命题中，原命题是固定的吗提示不是原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何个命题看作原命题，进而研究它的其他形式四种命题间的相互关系般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假思考感悟四种命题中真命题的个数可能为多少提示由于互为逆否关系的命题同真同假，真命题可能有个，个或个尝试应用若，则的否命题是若，则若，则若，则若，则答案命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的逆命题否命题逆否命题无关命题答案命题“若，则”与命题“若，则”是命题解析两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念答案互逆命题“若，则”的等价命题是答案若，则把命题“当时，”写成“若，则”的形式，并写出它的逆命题否命题与逆否命题，并判断它们的真假解原命题若，则，真命题逆命题若，则，假命题否命题若，则，假命题逆否命题若，则，真命题典例精析类型四种命题之间的转换例写出下列命题的逆命题否命题和逆否命题垂直于同平面的两直线平行若，则方程有实数根分析由题目可以获取以下主要信息第个命题的条件是垂直于同平面的两条直线，结论是两直线平行第二个命题的条件和结论非常清楚解答本题时可先分清命题的条件和结论，写成“若，则”形式，再写出逆命题否命题和逆否命题解逆命题如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同个平面否命题如果两条直线不垂直于同平面，那么这两条直线不平行逆否命题如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同平面逆命题若方程有实数根，则否命题若，则方程没有实数根逆否命题若方程没有实数根，则点评写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加些词语，但不能改变条件和结论迁移体验写出下列命题的逆命题否命题和逆否命题直角等于若则解原命题若个角是直角，则它等于逆命题若个角等于，则它是直角否命题若个角不是直角，则它不等于逆否命题若个角不等于，则它不是直角逆命题若，则且否命题若或，则逆否命题若，则或类型二四种命题真假判断例写出下列命题的逆命题否命题逆否命题，并判断其真假实数的平方是非负数等底等高的两个三角形是全等三角形弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧分析分清条件和结论利用相关知识点判断真假解逆命题若个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题若个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题若个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题逆命题若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题逆命题若条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题若条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题若条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题点评分清条件和结论，即可容易的写出各种命题判断个命题为假，只需举出个反例，充分发挥原命题与逆否命题逆命题与否命题的等价性，可大大简化判断过程迁移体验写出下列命题的逆命题否命题和逆否命题并判断其真假若或，则若都是奇数，则必是奇数解逆命题若，则或真否命题若且，则真逆否命题若，则且真逆命题若是奇数，则都是奇数真否命题若不都是奇数，则不是奇数真逆否命题若不是奇数，则不都是奇数真类型三四种命题的相互关系例若命题的否命题是，命题的逆命题是，则是的逆命题的原命题逆命题否命题逆否命题分析由题目可获取以下主要信息与互为否命题与互为逆命题解答本题可利用四种命题之间的关系来寻找解析设命题为“若，则”则其否命题是“若綈，则綈”则命题的逆命题是“若綈，则綈”，而的逆命题为“若，则”，故是的逆命题的否命题答案点评四种命题的结构分别为原命题若，则逆命题若，则否命题若綈，则綈逆否命题若綈，则綈在四种命题中，原命题和逆命题，否命题和逆否命题互为逆命题原命题和否命题，逆命题和逆否命题互为否命题原命题和逆否命题，否命题和逆命题互为逆否命题解决此类问题应正确区分好四种命题之间的关系迁移体验与命题“若，则∉”等价的命题是若，则∉若∉，则若∉，则若，则∉给出命题“已知，是实数，若则”，对其原命题逆命题否命题逆否命题而言，真命题的个数是解析原命题与逆否命题等价因为原命题为真，逆命题为假答案类型四等价命题的应用例判断命题“已知，为实数，若关于的不等式的解集非空，则”的逆否命题的真假分析由题目可以获取以下主要信息所给命题涉及到元二次不等式的解集判断逆否命题的真假解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出的范围，再去判断命题的真假解方法原命题的逆否命题已知，为实数，若，则关于的不等式的解集为空集判断真假如下抛物线开口向上，判别式因为，所以即抛物线与轴无交点所以关于的不等式的解集为空集故原命题的逆否命题为真方法先判断原命题的真假因为，为实数，且关于的不等式的解集非空所以，即，解得因为，所以，所以原命题为真又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真方法利用集合的包含关系求解命题关于的不等式有非空解集命题所以关于的不等式有实数解因为⊆，所以“若，则”为真所以“若，则”的逆否命题“若綈，则綈”为真即原命题的逆否命题为真点评命题的问题可以和其他很多知识相结合，例如本题就是道有关集合，不等式的解集，二次函数的图象，四种命题的关系的综合题，要求对这几方面的内容非常熟练，且要有定的分析推理能力，通过题多解，培养发展创新的能力迁移体验判断命题“若，则方程有实数根”的逆否命题的真假解方程的判别式原命题“若，则方程有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若，则方程有实数根”的逆否命题也为真思悟升华正确写出原命题的逆命题否命题和逆否命题般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用綈和綈分别表示和的否定，因此，若原命题为若，则，则其逆命题为若，则否命题为若綈，则綈逆否命题为若綈，则綈为便于书写各种命题，当原命题不是“若，则”的形式时，应先将命题写成规范形式“若，则”，然后再进行书写其他三种命题在将个命题改写为“若，则”的形式时，写法不是惟的如命题“负数的平方是正数”可写成“若个数是负数，则它的平方是正数”，其对应的逆命题否命题逆否命题分别为逆命题若个数的平方是正数，则它是负数否命题若个数不是负数，则它的平方不是正数逆否命题若个数的平方不是正数，则它不是负数也可写成“若个数是负数的平方，则这个数是正数”，则其对应的逆命题否命题逆否命题相应变为逆命题若个数是正数，则它是负数的平方否命题若个数不是负数的平方，则这个数不是正数逆否命题若个数不是正数，则它不是负数的平方四种命题的相互关系般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题具有等价性，所以我们在直接证明个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题